Basisbestimmung

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Xx AmokPanda xX Auf diesen Beitrag antworten »
Basisbestimmung
Hallo !!!

Ich habe folgende Aufgabe:

Man zeige, dass

U1 := {(x1,x2,x3,x4) E R^4 : 2x1 + x3 =0, x1 - x2 + x3 - x4 = 0}
U2 := {(x1,x2,x3,x4) E R^4 : x2 - 2x3 + x4 =0, x1 - 2x2 -2x4 =0}

Unterräume des R^4 sind und bestimme Basen (und Dimension) von U1,U2, U1 (U nach unten) und U1 + U2 .
---------------------------------------------------------------------------------------------

Meine Frage ist, wie bestimme ich die Basen.
Ich weiß nicht wie das gehen soll ....

bitte um hilfe
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hast du denn schon eigene Ansätze?

Grüße
Xx AmokPanda xX Auf diesen Beitrag antworten »

ich hatte mir überlegt, das ich die vielleicht erstmal



und



darstellen könnte und dann jeweils noch ein davor und das ganze 0 setzen
bringt mich aber auch nicht wirklich weiter ...

ich weiß eigentlich nicht wie ich die aufgabenstellung auffassen soll, soll ich die Basis genau bestimmen oder nur anhand der Gleichungen nachweisen, das eine existiert
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jeweils zwei homogene Gleichungen.
Diese lassen sich auch als homogenes Gleichungssystem schreiben.
Dieses homogene Gleichungssystem kann als lineare Abbildung oder Homomorphismus von R^4 nach R^2 aufgefasst werden, dessen Kern es zu ermitteln gilt.
Xx AmokPanda xX Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den tipp, aber wie genau mach ich das?

also ich setze beide gleichungen =0 versuche nun die x ausrechnen ???

oder soll ich die gleichungen so umbauen, das ich nur noch 2 unbekannte hab ?

ich versteh eigentlich auch nicht wirklich wie ich damit die Bais bekommen soll ...

geht das dann über Kern (U1) = Dim (U1)

und würde das bedeuten, wenn ich die Basis, hab ich auch gleich die Dimension
Xx AmokPanda xX Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab jetzt:

Kern (U1) = {( E R^3 : x1 + x2 + x4 = 0}

und nun kann ich ja 2 Koordinaten frei wählen und somit die dritte berechnen, das mach ich für 2 Koordinaten und hab die Basis im Kern oder ???

ich hab das jetzt einfach mal so gemacht:

also die beiden gleichungen gleich gesetzt und dann wieder nach 0 umgestellt, da komm man auf x1 + x2 + x3 = 0

Kern (U1) = {( E R^3 : x1 + x2 + x3 = 0}

jetzt durch das frei wählen:

{()()

und das ist Basis im Kern (U1)

=> Dimension : Dim(Kern(U1)) = 2
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Löse das Gleichungssystem richtig auf.











Nun wähle für s und t beliebige Werte und du erhälst deine zwei Basisvektoren.
Xx AmokPanda xX Auf diesen Beitrag antworten »

danke smile

aber irgendwie verstehe ich deine umforumng nach dem pfeil nicht so ganz, wieso lässt du dort das x3 einfach weg, bzw wo holst du das -x1 her
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Zeile minus zweite Zeile.
Xx AmokPanda xX Auf diesen Beitrag antworten »

achso also sind die gleichungen dann erste gleichung minus zweite gleichung und dann nochmal die zweite.

ok
danke für die hilfe

bei u2 mach ich das ganze dann analog

wie sieht es aber mit u1 (umgedrehtes u) u2 und u1 + u2 aus.

muss ich eigentlich noch beweisen, dass sich dadurch eine basis bildet
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