Nullmatrix

28.11.2008, 22:40

energyfull

Nullmatrix

guten abend, habe da ne aufgabe die ich auch nicht leider verstehe,

also sei K ein Körper, $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ eine natürliche zahl, und

$\begin{eqnarray*} A= (\lambda ij) \end{eqnarray*}$ eine n*n-Matrix. mit einträgen $\begin{eqnarray*} \lambda ij \in K \end{eqnarray*}$ . angenommen, es gilt $\begin{eqnarray*} \lambda ij=0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} j\geq i \end{eqnarray*}$ . beweisen sie, das das n-fache Matrixprodukt

$\begin{eqnarray*} A^{n} = A*A*...*A \end{eqnarray*}$ die nullmatrix ist.

ich weiss jetzt nicht wie das geht, aber zur nullmatrix weiss ich:
das die elemente der matrix alle null sein müssen und das sie die nullabbildung darstellt.

aber wie man das konkret hier anwendet ist mir nicht bekannt, und bitte deshalb um hilfe

28.11.2008, 23:13

Thorsten22

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RE: Nullmatrix
Vielleicht kann ich dir etwas weiterhelfen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A^{n} = A*A*...*A \end{eqnarray*}$ die nullmatrix ist.

das bedeutet das die Matrix A eine nilpotente Matrix ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A= (\lambda ij) \end{eqnarray*}$ eine n*n-Matrix. mit einträgen $\begin{eqnarray*} \lambda ij \in K \end{eqnarray*}$ . angenommen, es gilt $\begin{eqnarray*} \lambda ij=0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} j\geq i \end{eqnarray*}$

hier steckt drin, dass die Matrix A eine echte untere Dreiecksmatrix ist d.h. alle Elemente oberhalb der Diagonalen sind null sowie die Diagonalelemente selbst auch.
Wenn ich mich richtig erinnere dann sind alle echten oberen wie unteren Dreiecksmatrizen nilpotent was du jetzt noch beweisen musst.

Muss mal ein bisschen überlegen vielleicht fällt mir ein Beweis ein.

28.11.2008, 23:17

energyfull

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hmm,

dreiecksmatrix, nilpotent, das sagt mir eigentlich nicht so viel.

29.11.2008, 21:15

energyfull

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bräucte nochmal hilfe bei dieser aufgabe. ich kann das nicht mit der dreiecksmatrix und nilpotente

30.11.2008, 01:40

energyfull

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ich bin nochmal meine ganzen unterlagen durchgegangen und wir haben keine nilpotente oder dreiecksmatrix und zu null matrix haben wir auch nichts,
deshalb kann ich die aufgabe nicht lösen

30.11.2008, 11:08

kiste

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Klar kannst du die Aufgabe lösen, sonst hättest du sie ja nicht bekommen. Wenn du keine Theorie zur Verfügung hast dann versuche eben das Bild der Einheitsvektoren unter A^n zu bestimmen.

30.11.2008, 13:45

energyfull

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ich meinte ich kann die aufgabe nicht mit dreiecksmatrizen und nilpotente lösen, da wir das noch nicht im unterricht hatten.

wollte wissen ob es andere beweismethoden dafür gibt. das mit dem bild von A^n habe ich jetzt auch nicht verstanden.

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