streng monoton fallend

29.11.2008, 12:37

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

streng monoton fallend

Hallo.
Will folgende Aufgabe lösen aber weiß nicht so recht wie ich da anfangen soll.
Es sei c>1. Zeigen sie:
i) $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{c})_n \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend
ii) $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{c}->1(n->\infty) \end{eqnarray*}$
Kann mir da bitte jemand helfen? weiß nicht so recht wie ich da anfangen soll.
Danke.

29.11.2008, 13:24

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
kann mir da niemand helfen?

29.11.2008, 13:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Bitte nicht drängeln. Man samstags auch noch anderes zu tun.

zu 1: zeige $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{c}}{\sqrt[n+1]{c}} \geq 1 \end{eqnarray*}$

29.11.2008, 13:47

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
ok. aber muss es bei streng monoton fallend nicht nur >1 heißen? und wie zeige ich sowas? weiß garnicht wie ich da anfangen soll.

29.11.2008, 14:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
OK. Hatte ich überlesen. Wie steht es um die Potenzregeln? $\begin{eqnarray*} \frac{c^n}{c^m} = c^{n-m} \end{eqnarray*}$

29.11.2008, 14:24

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
dann hätte ich $\begin{eqnarray*} \sqrt[n^2+n]{c}>1 \end{eqnarray*}$ und ich weiß dass c>1. kann ich daraus schließen, dass das stimmt?

Anzeige

29.11.2008, 14:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Im Prinzip ja. Angenommen es, wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt[n^2+n]{c} \leq 1 \end{eqnarray*}$ , dann wäre:

$\begin{eqnarray*} c = (\sqrt[n^2+n]{c})^{n^2+n} \leq 1^{n^2+n} = 1 \end{eqnarray*}$

29.11.2008, 14:39

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Ok das verstehe ich. wäre das dann schon meine Lösung für i)? eigentlich schon oder? Ich hab ja damit bewiesen, dass die Folge streng monoton fallend ist.
kann ich die ii) so lösen:
$\begin{eqnarray*} c^{\frac{1}{n}}->1 \end{eqnarray*}$
also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}->0 \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} c^0=1 \end{eqnarray*}$ und deswegen $\begin{eqnarray*} c^{\frac{1}{n}}->1 \end{eqnarray*}$ ???

29.11.2008, 14:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Das kannst du machen, wenn du die Stetigkeit der Exponentialfunktion verwenden darfst. Wenn nicht, geht es mit der Bernoullischen Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} c = (1 + \sqrt[n]{c} - 1)^n \geq 1 + n \cdot (\sqrt[n]{c} - 1) \end{eqnarray*}$

Jetzt isoliere rechts $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{c} \end{eqnarray*}$ und laß n gegen unendlich gehen.

29.11.2008, 15:06

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
was ist denn mit "isoliere rechts $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{c} \end{eqnarray*}$ und laß n gegen unendlich gehen" gemeint?

29.11.2008, 15:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Ok. Man braucht ja auch nur $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{c} - 1 \end{eqnarray*}$ isolieren.

Aus obiger Ungleichung folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{c - 1}{n} = \sqrt[n]{c} - 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Die Gültigkeit der rechten Ungleichung ist relativ simpel zu zeigen.
Jetzt laß auf der linken Seite n gegen unendlich laufen.

29.11.2008, 15:21

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
ich verstehe jetzt aber nicht so recht wie ich aus der gleichung oben auf diese hier komm.

29.11.2008, 16:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Das da oben ist eher eine Ungleichung. $\begin{eqnarray*} c \geq 1 + n \cdot (\sqrt[n]{c} - 1) \end{eqnarray*}$

Da wir im Hochschulbereich sind, sage ich jetzt nichts weiter zu der Umformung.

29.11.2008, 16:08

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
ich glaube hab sie jetzt doch verstanden.

$\begin{eqnarray*} \frac{c - 1}{n} \end{eqnarray*}$ geht dann gegen 0 oder? aber versteh noch nicht so ganz was ich damit anfangen kann.

29.11.2008, 16:23

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Schauen wir nochmal auf die Ungleichungskette $\begin{eqnarray*} \frac{c - 1}{n} = \sqrt[n]{c} - 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Die linke Seite geht gegen Null, was bleibt dann dem Term in der Mitte übrig?

Meine Güte. Das sind doch alles Überlegungen, die auf der Hand liegen.

29.11.2008, 18:16

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
da der term ja gleich dem in der mitte ist geht der dann auch gegen null.

29.11.2008, 18:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend

Zitat:

Original von imag
da der term ja gleich dem in der mitte ist

Was willst du mir damit sagen? verwirrt

verwirrt

29.11.2008, 18:44

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
das frage ich mich auch!! aber das war das was ich aus deinem hinweis heraus lesen konnte. versteh im moment nicht so ganz was mir das bringt was ich da mache!

29.11.2008, 18:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Vielleicht habe ich deine Formulierung nicht so recht verstanden.

Also in der Ungleichungskette $\begin{eqnarray*} \frac{c - 1}{n} = \sqrt[n]{c} - 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ geht die linke Seite gegen Null. Der Term, der in der Mitte steht, geht dann natürlich auch gegen Null.

So. Was folgt dann für $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{c} \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2008, 18:54

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Ungleichungskette $\begin{eqnarray*} \frac{c - 1}{n} = \sqrt[n]{c} - 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Die linke Seite geht gegen Null, was bleibt dann dem Term in der Mitte übrig?
der term in der mitte geht dann auch gegen null oder?

29.11.2008, 19:07

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
der müsste gegen 1 gehen. weil 1-1 gleich null ist oder? ist das richtig so ausgedrückt?

29.11.2008, 19:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
Ja, kann man so lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2008, 19:21

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: streng monoton fallend
dankeschön!!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »