Matrix allgemein

29.11.2008, 14:27

Simon01

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Matrix allgemein

Hello everybody!

Ich hätte eine kleine, kurze Frage:

Angenommen, ich habe die Matrix: $\begin{eqnarray*} A : = \begin{pmatrix} 5/2 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und will A^1438 berechnen.

Wie funktioniert das genau?

Ich habe mal ein paar Beispiele ausgerechnet: $\begin{eqnarray*} A^3 : = \begin{pmatrix} 29/8 & -7/4 \\ 21/4 & -5/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} A^4 : = \begin{pmatrix} 61/16 & -15/8 \\ 45/8 & -11/4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(...)

Was wäre dann z.B. A^n - oder eben, wie geht das System, das dahinter steckt?

Vielen Dank für eure Hilfe!

29.11.2008, 15:01

klarsoweit

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RE: Matrix allgemein
Ich würde die Matrix diagonalisieren.

29.11.2008, 15:49

Simon01

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RE: Matrix allgemein
Also wie meinst du das genau?

Bei A^4 also: [61/16 -11/4] ?

29.11.2008, 16:19

klarsoweit

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RE: Matrix allgemein
Ich meine, daß du die Matrix diagonalisieren sollst. Es gibt eine invertierbare Matrix S und eine Diagonal-Matrix B, so daß gilt: $\begin{eqnarray*} A = S \cdot B \cdot S^{-1} \end{eqnarray*}$

EDIT: kleine Korrektur bezüglich der Formel.

29.11.2008, 20:04

Simon01

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RE: Matrix allgemein
Hmm...aber ich verstehe nicht ganz, wie konkret...

Könntest du mir vielleicht ein Beispiel für A^3 oder A^4 rechnen?
Also B ist ja dann eigentlich die Diagonalmatrix, d.h. sie besteht aus lauter Nullen, ausser auf der Diagonalen.

Aber eben: wie man das konkret macht - hier wäre ich sehr froh um ein Beispiel! smile

smile

Vielen Dank!

29.11.2008, 20:13

klarsoweit

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RE: Matrix allgemein

Zitat:

Original von Simon01
Also B ist ja dann eigentlich die Diagonalmatrix, d.h. sie besteht aus lauter Nullen, ausser auf der Diagonalen.

Sofern A unterschiedliche Eigenwerte hat.

Zitat:

Original von Simon01
Aber eben: wie man das konkret macht - hier wäre ich sehr froh um ein Beispiel! smile

smile

Du hast doch hier ein konkretes Beispiel. Rechnen mußt du schon selbst. Einem kleinen Kind zeige ich, wie man mit Messer und Gabel umgeht, aber einem Studenten? verwirrt

verwirrt

Du könnest ja mal anfangen, die Eigenwerte von A zu bestimmen.

EDIT: noch ein Tipp: wenn du für A die Darstellung $\begin{eqnarray*} A = S \cdot B \cdot S^{-1} \end{eqnarray*}$ hast, dann ist $\begin{eqnarray*} A^n = S \cdot B^n \cdot S^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Den Beweis kannst du leicht mit vollständiger Induktion führen.

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29.11.2008, 23:28

Simon01

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RE: Matrix allgemein
Für den Tipp bin ich dir sehr dankbar!

Aber zuerst einmal: Eigenwerte zu A sind Lambda_1 = -1 und Lambda_2 = 5/2.

Nun, ich sehe schon ein gewisses Verhältnis zwischen Nenner und Zähler von A, A^2, A^3 etc., aber das ist mathematisch gesehen ja kein Beweis.

Zu meinen Eigenwerten: Heisst das also, dass die Diagonalmatrix (B) so aussieht? : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5/2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} A: = S * \begin{pmatrix} 5/2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} * S^{-1} \end{eqnarray*}$

?

30.11.2008, 10:33

klarsoweit

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RE: Matrix allgemein

Zitat:

Original von Simon01
Aber zuerst einmal: Eigenwerte zu A sind Lambda_1 = -1 und Lambda_2 = 5/2.

Klares nein. Was sollen denn dazu die Eigenvektoren sein? Die brauchst du in jedem Fall, da aus diesen die Matrix S gebildet wird.

30.11.2008, 16:55

Simon01

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RE: Matrix allgemein
Klar, weil ja (A - Lambda * I ) *v = 0 lösbar sein muss smile

smile

hab auch den Rechenfehler entdeckt: Die richtigen Eigenwerte sind: 0.5 und 1.

Heisst das nun, dass die Diagonalmatrix so aussieht? :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dementsprechend also: $\begin{eqnarray*} A: = S * \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} * S^{-1} \end{eqnarray*}$

?

Wie würde es jetzt weitergehen?

Vielen Dank für die Geduld und die Hilfe! smile

smile

30.11.2008, 17:08

klarsoweit

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RE: Matrix allgemein
OK. Jetzt brauchst du noch die Eigenvektoren. Aus denen wird die Matrix S erstellt.

30.11.2008, 17:31

Simon01

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RE: Matrix allgemein
Okey,

also für Lambda_1 = 0.5 wäre dies:

A - 0.5 * E = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um auf den Eigenvektor zu kommen, rechnet man:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1.5 \end{pmatrix} * x = 0 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich allerdings ein paar kleine Probleme...ich weiss z.B., dass es gut ist, die Matrix auf die obere Dreiecksmatrix umzuformen, aber ich weiss schlussendlich trotzdem nicht, wie ich dann auf den Vektor komme (also ob ich zB 1*x_1 = 0, 0.5*x_2 = 0 etc rechnen muss oder ganz anders...)

Thanks a lot! smile

smile

30.11.2008, 17:52

klarsoweit

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RE: Matrix allgemein

Zitat:

Original von Simon01
ich weiss z.B., dass es gut ist, die Matrix auf die obere Dreiecksmatrix umzuformen

Dann mach das doch mal.

30.11.2008, 20:38

Simon01

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RE: Matrix allgemein
Ist's möglich, dass das gar nicht geht smile

smile

?

=S

also "unten links" müsste ne 0 hin, aber habe keine Chance.. =S

30.11.2008, 22:10

klarsoweit

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RE: Matrix allgemein
Es geht im Moment (noch) nicht um die Matrix S, sondern nur um die Bestimmung der Eigenvektoren zu den Eigenwerten. Also das sollte doch wohl kein Problem sein.

30.11.2008, 23:34

Simon01

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RE: Matrix allgemein
Also wäre für Lambda = 0.5 :
$\begin{eqnarray*} Ker{ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1.5 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} span{1,0} \end{eqnarray*}$

für Lambda = 1:
... --> span{0,1}

wie gehts nun weiter?

01.12.2008, 08:21

klarsoweit

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RE: Matrix allgemein
Leider sind beides keine Eigenvektoren. Da müßte ja beispielsweise

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac 5 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, was offensichtlich nicht der Fall ist.

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