Diagonalisierbare Matrizen

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Simon01 Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbare Matrizen
Hallo miteinander!
Schon wieder ich...hihi

Wenn ich entscheiden muss, ob die Menge der diagonalisierbaren Matrizen aus M (n x n, R) offen ist, und dabei folgendes gilt: M(n x n, R) mit R^N, wobei N = n^2. - reicht es dann, den Satz von Cayley-Hamilton zu zeigen? (so wie bei "Matroids Matheplanet, "Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis") (--> google, und "Matroids: Der Satz von Cayley-Hamilton: Ein topologischer Beweis" eingeben)

Vielen Dank für die Antwort! smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Artikel ist doch auf etwas ganz anderes aus. Ich lese mir den jetzt nicht komplett durch, aber ich denke, es ist nicht sinnvoll (wenn überhaupt möglich), ihn dafür zu nutzen. Wie genau würdest du denn damit argumentieren wollen und was kommt deiner Meinung nach bei der Frage überhaupt heraus?
Simon01 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey...wie würdest du dann entscheiden, ob die Menge der diagonalisierbaren Matrizen offen ist? (oder nicht)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Definition von offenheit benutzen. Für alle diagonalisierbaren Matrizen M gibt es ein , so dass für alle Matrizen A mit folgt das A diagonalisierbar ist. Hierbei kann ich mir vorstellen das eine konkrete Wahl einer Norm hilfreich sein kann, wir können jede Norm nehmen , da alle Normen auf endlich dimensionalen Räumen äquivalent sind. Aber das wäre ein Weg. Du könntest genauso zeigen, das dass komplement Abgeschlossen ist. Jede konvergente Folge von nicht diagonalisierbaren Matrizen besitzt einen Grenzwert der nicht diagonalisierbar ist.

Dies sind aber nur Ideen wie ich anfangen würde, ich bin nicht sicher ob dieser Weg leicht zum Ziel führt.
Simon01 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wenn ich es über die Definition mache:
Dann kann ich ja irgendein n Element N wählen.

Nun gut, für n=1 ist die Menge doch abgeschlossen, oder?

für n = 2 auch...?

..könnte ich das nun nicht per Induktion für n = n zeigen?
(aber wie konkret? smile )

Vielen Dank für die Antworten! smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Aussage nicht zeigen, da sie falsch ist. Du musst sie also widerlegen. Dazu musst du zeigen, dass es eine diagonalisierbare Matrix gibt, sodass in jeder Umgebung dieser Matrix mindestens eine nichtdiagonalisierbare Matrix liegt.

Zitat:
Original von Mazze
Jede konvergente Folge von nicht diagonalisierbaren Matrizen besitzt einen Grenzwert der nicht diagonalisierbar ist.

Das ist falsch, aber um mit einem Gegenbeispiel nicht gleich die Lösung des eigentlichen Problems zu verraten, warte ich damit noch ab.
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Gut gut, ich habe mir keine Gedanken drüber gemacht ob die Aussage falsch oder wahr ist, ich hab nur gesagt wie mans machen würde. Dafür wars mir dann doch zu spät smile . Aber ein Gegenbeispiel hab ich jetzt auch schon.
Simon01 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit "Aussage falsch" meinst du wohl, dass die Menge nicht offen ist?

Ja, eine solche Idee habe ich auch schon gehabt und habe es heute Nachmittag versicht, allerdings erfolglos...

Evtl. kann mir ja jemand den Anfang Preis geben...? smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass in jeder Umgebung der Nullmatrix bezüglich der Maximumsnorm (die Wahl der Norm ist frei!) immer eine nichtdiagonalisierbare Matrix liegt.
Simon01 Auf diesen Beitrag antworten »

Den theoretischen Weg verstehe ich schon, aber ich kann es einfach nicht umsetzen =S

..heeeelpp
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sei eine beliebige -Umgebung der Nullmatrix bezüglich der Maximumsnorm. Betrachte die Matrix

,

zeige, dass diese in der obigen Umgebung der Nullmatrix liegt und dass sie nicht diagonalisierbar ist.
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