Rentenbarwerte (Beweise resp. Herleitung)

29.11.2008, 15:46

damianR

Rentenbarwerte (Beweise resp. Herleitung)

Hi Leute.

Ich versuche gerade für den LK zwei Rentenformeln (Spezialfälle) zu beweisen respektive herzuleiten.

a.) K0 = (A/r)*(1-1/(1+r)^n)

sowie

b.) K0 = (A/r-g))*(1-(1+g)^n/(1+r)^n)

wobei K0 das Anfangskapital, A die Auszahlungen (gemäss Definition konstant), r den Zinsfuss (ebenfalls gemäss Annahme konstant), und g das geometr. Wachstum darstellt.

bei Aufgabe a.) ist mir (A/r) verständlich, den Teil konnte ich auch beweisen, beim hinteren Term stecke ich fest. (ewige Rente habe ich zuvor herleiten können)

Und das genau gleiche Problem habe ich auch bei der Aufgabe b.). Weshalb sich da überall das Wachstum reingeschlichen hat ist wiederum klar. Das kenne ich aus dem DDM.

Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir kurz helfen könntet. Irgendwie steck ich fest. Wird wohl was ganz banales sein. Aber.... Hammer

Besten Dank

Damian R.

30.11.2008, 02:01

Matthias U.

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Was heißt DDM?

Und eigentlich ist die ewige Rente ein Spezialfall der hier zum Einsatz kommenden Summenformel der geometrischen Reihe - also solltest du das auch leicht beweisen können. Wie hast du K0 = (A/r) bewiesen?

30.11.2008, 10:35

damianR

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Ich bin mir bewusst, dass die ewige Rente ein Spezialfall von a.) ist.
Die ewige Rente habe ich folgendermassen hergeleitet:

Zitat:

K0 = A * 1/(1+r) + A * 1/(1+r)^2 + A * 1/(1+r)^3 + ....

(Annahme, dass alle A (=Rentenauszahlungen) gleich sind)

A ausklammern => K0 = A*[1/(1+r) + 1/(1+r)^2 + 1/(1+r)^3 + ...]

dabei handelt es sich ja um eine unendliche geometr. Reihe, bei der das Startgleid (=a1) = 1/(1+r)

sn = a1 * [(1-(1/1+r)^n)/(1-(1/1+r))]

da n gegen unendlich strebt, wird (1/1+r)^n zu Null.

also erhalte ich: 1/(1+r) * 1/[((1+r)/(1+r))-(1/1+r)] = 1/1+r * ((1/r)/1+r) = 1/r

=> Barwert ewige Rente: K0 = A/r

Hoffentlich stimmt die Klammersetzung. Forum Kloppe

Mein Problem ist jetzt: Wie "begünde" ich, dass der Term, welcher bei der ewigen Rente gegen Null strebt, stehen bleibt? Es ist mir klar, dass der Term hier nicht gegen Null strebt, da es sich um eine endliche Rente handelt. Aber genügt es als "Beweis", wenn ich das einfach so "stehenlasse"?

Zum DDM: Dabei handelt es sich um das Dividend discount model, einem Konzept aus der BWL. Ich habe mir dieses angeschaut und dadurch auch die Wachstumsrate, g, erklären können.

Besten Dank

30.11.2008, 13:27

damianR

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Ist ja echt hässlich zu lesen. Ich versuche mich später an LaTex, habe gerade keine Zeit. Sorry an alle, die es so zu lesen versuchen. böse

30.11.2008, 16:42

Matthias U.

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Versuche deinen Ausdruck auf die Form

$\begin{eqnarray*} S_n~=~\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}~=~\frac{(1+r)^{n}-1}{(1+r)^{n}r} \end{eqnarray*}$

zu bringen. Im Prinzip musst du den Ausdruck nur noch geeignet umformen und hast schon das richtige Ergebnis da stehen!! (bevor du den grenzwert anwendest)

So, Dividenden Diskontierungs Modelle. Die Dividende wächst jedes Jahr konstant mit g. In Kurzfassung gilt also

$\begin{eqnarray*} \frac{dK_o}{dDiv_t}~=~\frac{(1+g)^{t-1}}{(1+r)^t} \end{eqnarray*}$

was auf Deutsch nichts anderes heißt, als dass der Vorfaktor jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{(1+g)^{t-1}}{(1+r)^t} \end{eqnarray*}$ ist. Verwende $\begin{eqnarray*} \frac{(1+g)}{(1+r)} \end{eqnarray*}$ für q in der Summenformel und multipliziere das Ergebnis mit 1/(1+g). Dann erhält man direkt dein Ergebnis.

09.12.2008, 18:25

damianR

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... ich komm einfach nicht drauf... traurig

10.12.2008, 22:14

damianR

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Habs doch noch gepackt. Vielen Dank für deine Hilfe, Matthias U.

Beste Grüsse

Damian R.

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