lineare abbildungen

29.11.2008, 16:13

steffilein

lineare abbildungen

so ich brauch mal eure hilfe, für einen Vektor v element aus dem R² wird die lineare abbildung $\begin{eqnarray*} P=I-\frac{1}{|v|²} (vv^{t}) \end{eqnarray*}$ betrachtet.
jetzt soll ich erstmal zeigen, dass P²=P² ist. daran scheiter ich schonmal, also I²=I oder? und dann kann ich noch irgendwie das skalarprodukt verwenden? kann mir jemand helfen? das wäre liebbbb,
schöne grüße

29.11.2008, 16:24

Reksilat

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RE: lineare abbildungen
Zu zeigen ist P²=P meinst Du wahrscheinlich.

$\begin{eqnarray*} P^2=(I-\frac{1}{|v|²} (vv^{t}) )(I-\frac{1}{|v|²} (vv^{t}) )=I^2-2\frac{1}{|v|²} (vv^{t})+\frac{1}{|v|^4} (vv^{t}vv^{t}) \end{eqnarray*}$
Soweit solltest Du gekommen sein.

Nun ist I²=I, wie Du bereits erwähntest. Was ist nun aber $\begin{eqnarray*} vv^tvv^t \end{eqnarray*}$ , oder genauer was ist $\begin{eqnarray*} v^tv \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2008, 16:31

steffilein

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also $\begin{eqnarray*} vv^t \end{eqnarray*}$ ist ja das skalarprodukt von dem vektor und dem trabsponierten vektor. und dafür kann ich doch auch schreiben |v||vt|cos , und die Länge von v ist doch gleich der länge des transpornierten vektors oder? kann ich das dann nicht mit |v|² unter dem Bruch kürzen?

29.11.2008, 16:39

Reksilat

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Nein, $\begin{eqnarray*} vv^t \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix, es geht um $\begin{eqnarray*} v^tv \end{eqnarray*}$ und das ist genau das Skalaprodukt von v mit sich selbst:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=x_1^2+x_2^2=<v,v>=|v|^2 \end{eqnarray*}$

29.11.2008, 16:44

steffilein

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dann komm ich aber zu dem ergebnis:
P=I-1 und P²=1-I
das kann doch irendwie nicht sein oder?

29.11.2008, 16:55

Reksilat

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Das kann aber nicht sein, denn ich komme wunderbar auf P²=P. Was hast Du denn gemacht?

29.11.2008, 18:29

steffilein

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RE: lineare abbildungen
$\begin{eqnarray*} P^2=(I-\frac{1}{|v|²} (vv^{t}) )(I-\frac{1}{|v|²} (vv^{t}) )=I^2-2\frac{1}{|v|²} (vv^{t})+\frac{1}{|v|^4} (vv^{t}vv^{t}) \end{eqnarray*}$
muss da nicht noch ein I in den 2. Summanden?

29.11.2008, 18:59

steffilein

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Zitat:

Original von Reksilat
Nein, $\begin{eqnarray*} vv^t \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix, es geht um $\begin{eqnarray*} v^tv \end{eqnarray*}$ und das ist genau das Skalaprodukt von v mit sich selbst:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=x_1^2+x_2^2=<v,v>=|v|^2 \end{eqnarray*}$

wieso darfst du $\begin{eqnarray*} vv^t \end{eqnarray*}$ einfach umdrehen?

29.11.2008, 20:00

Reksilat

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Zitat:

muss da nicht noch ein I in den 2. Summanden?

Ja, aber da $\begin{eqnarray*} vv^t \end{eqnarray*}$ wie gesagt eine Matrix ist und I die Einheitsmatrix, kann man es weglassen.

Zitat:

wieso darfst du $\begin{eqnarray*} vv^t \end{eqnarray*}$ einfach umdrehen?

Habe ich ja gar nicht. Es steht dort der Ausdruck $\begin{eqnarray*} vv^tvv^t \end{eqnarray*}$ und den kann man als $\begin{eqnarray*} (vv^t)(vv^t) \end{eqnarray*}$ oder eben als $\begin{eqnarray*} v(v^tv)v^t \end{eqnarray*}$ interpretieren. Beim zweiten Ausdruck steht in der Mitte ein Skalar, das man nach vorne ziehen kann.

29.11.2008, 20:23

steffilein

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hey danke, und warum ist $\begin{eqnarray*} vv^t=|v|^2 \end{eqnarray*}$ und andersum nicht?

29.11.2008, 20:41

Reksilat

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Jetzt muss ich zum dritten(!) mal schreiben, dass $\begin{eqnarray*} vv^t \end{eqnarray*}$ ein MATRIX ist!
böse

$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist ein Spaltenvektor, also eine $\begin{eqnarray*} n\times 1 \end{eqnarray*}$ -Marix und $\begin{eqnarray*} v^t \end{eqnarray*}$ ist ein Zeilenvektor, also eine $\begin{eqnarray*} 1\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix. damit ist $\begin{eqnarray*} vv^t \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix und $\begin{eqnarray*} v^tv \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} 1\times 1 \end{eqnarray*}$ -Matrix, die gerade das Skalaprodukt <v,v> darstellt, wie ich es ebenfalls bereits oben geschrieben habe.

Wenn Du Hilfe möchtest, dann sollst Du Dir die gegebene Hilfe auch
Lesen2

DURCHLESEN! Lesen2

Bin frustriert, muss mich jetzt besaufen gehen. Prost

29.11.2008, 21:16

steffilein

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ui das wollt ich nicht, ich trink ein mit auf mathe Prost

29.11.2008, 23:10

steffilein

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darf ich noch eine sache fragen?
wieso ist: $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 1/5 \begin{pmatrix} 1& 2\\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/5 &2/5 \\ 2/5 & 1/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.11.2008, 23:15

steffilein

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ohne die sachen davor, also ab der einheitsmatrix

30.11.2008, 18:54

Reksilat

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Es ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 1/5 \begin{pmatrix} 1& 2\\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1/5& -2/5\\ -2/5 & -4/5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4/5 &-2/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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