Produkttopologie

29.11.2008, 19:28

Duedi

Produkttopologie

Habe eine kurze Frage zur Produkttopologie über den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ :

Sie ist ja folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} = \prod_{j=1}^n (a_j, b_j) \end{eqnarray*}$ . Ist das dann dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \{(a_1,b_1), (a_1, b_2),\cdots, (a_1, b_n), (a_2, b_1), (a_2,b_2)\cdots, (a_n,b_n)\} \end{eqnarray*}$ ? Mich verwirrt gerade nur, dass im Argument des Produktzeichens nicht wie sonst beim kartesischen Produkt eine offene Menge steht

29.11.2008, 19:32

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Duedi
Sie ist ja folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} = \prod_{j=1}^n (a_j, b_j) \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt schon keinen Sinn. Schreibe bitte mal die Formulierung aus der Vorlesung Eins zu Eins ab.

29.11.2008, 19:41

Duedi

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Das ist ja das Dumme: Wir hatten leider keine richtige Definition. Ich werde einfach mal den Eintrag Wort für Wort übernehmen:

Produkttopologie:

$\begin{eqnarray*} (X_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ Mengen
$\begin{eqnarray*} \prod_{j\in J} X_j = \{(x_j)_{j\in J} : x_j \in X_j\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{\varphi: J\rightarrow \bigcup_{j\in J} X_j: \varphi(j) \in X_j\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathcal{B} = \{(U_j)_{j\in J}: U_j \subset X_j ~\mbox{offen, für fast alle j:} ~U_j = X_j\} \end{eqnarray*}$

EDIT: bei meinem ersten Eintrag sollte (a_j, b_j) für eine offene Menge stehen, nicht als 2-Tupel

30.11.2008, 01:40

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ bezeichnet wahrscheinlich eine Basis der Topologie?! Dann müsstest du schreiben:

$\begin{eqnarray*} \mathcal B=\left\{\left.\prod_{j=1}^n~U_j\ \right|\ U_j\text{ offen in }\mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$ .

So und jetzt bitte nochmal deine Frage?!

30.11.2008, 12:06

Duedi

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Wir hatten das allerdings genauso aufgeschrieben, wie ich das gerade skizziert hatte. Vermutlich wollte er die $\begin{eqnarray*} U_j \end{eqnarray*}$ als eine Art Folge auffassen. Meine Frage war, wie man formal ein Element einer Produkttopologie schreiben kann. Als Eine Menge von Tupeln? Und wenn ja, wie dann genau. Also z. B. die Produkttopologie über den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ : Die Basis wäre dann gegeben durch $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} = \{(U_j)_{j\in J}: ~ U_j\subset \mathbb{R}^2 \mbox{ offen, für fast alle } j \in J: U_j = \mathbb{R}^2\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ beliebige offene Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind. "Für fast alle" bedeutet ja "bis auf endlich viele Ausnahmen". Da wir aber ohnehin nur endlich viele $\begin{eqnarray*} U_j \end{eqnarray*}$ bilden können, dürfen sie beliebige offene Mengen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sein. Also können wir schreiben:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{B} = \{(U_1, U_2) \subset \mathbb{R}^2\} \end{eqnarray*}$ .

Und mithilfe der Basis können wir die Topologie konstruieren:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{T}(\mathcal{B}) = \{U_1\cup U_2\} \end{eqnarray*}$ .

Ist das dann so korrekt?

30.11.2008, 14:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Duedi
Die Basis [...]

"Eine Basis" ist besser. Ein und dieselbe Topologie hat in der Regel sehr viele Basen!

Zitat:

Original von Duedi
Und mithilfe der Basis können wir die Topologie konstruieren:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{T}(\mathcal{B}) = \{U_1\cup U_2\} \end{eqnarray*}$ .

Bis dahin war alles noch in Ordnung, aber das ist falsch. Die Topologie besteht doch nicht nur aus einer Menge! Vor allem besteht sie nicht aus Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , sondern aus Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ! $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist nämlich eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Des Weiteren muss man beliebige Vereinigungen zulassen. Es sollte dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \mathcal T(\mathcal B)=\left\{\left.\bigcup_{i\in I}~(U_{i1},U_{i2})\ \right|\ I\text{ beliebige Indexmenge und }(U_{i1},U_{i2})\in\mathcal B\ \forall\ i\in I\right\} \end{eqnarray*}$ .

Im Übrigen ist die Tupelschreibweise für die Mengen meiner Meinung nach einfach falsch, aber darum möchte ich mich jetzt nicht kümmern.

30.11.2008, 19:30

Duedi

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Ah super, danke, jetzt ist es um einiges klarer.

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