Partialsummen

29.11.2008, 20:40

barthcar

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Partialsummen

Hi Leute,

auf meine eigentlich einfache Frage will mir leider keiner antworten (siehe Partialsummen beweisen).

Die Frage ist einfach nur:

Wenn ich die Partialsummenfolge einer Reihe gefunden habe, wie kann ich die dann beweisen?
Geht das mit vollständiger Induktion? Wenn ja wie muss ich da ansetzten?

Danke euch...

Carlo

29.11.2008, 21:57

klarsoweit

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RE: Partialsummen

Zitat:

Original von barthcar
Geht das mit vollständiger Induktion?

Kann man allegemein nicht sagen. Dürfte aber in den meisten Fällen so sein.

Zitat:

Original von barthcar
Wenn ja wie muss ich da ansetzten?

Verstehe die Frage nicht. Wenn man es mit vollständiger Induktion machen will, muß man eben die Schritte dieses Verfahrens durchführen.

30.11.2008, 12:10

barthcar

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RE: Partialsummen
Hi Klarsoweit,

erstmal danke das du mich wie fast immer als einzigster erhört hast smile

smile

.

Mir ist natürlich klar(-soweit Augenzwinkern

Augenzwinkern

) dass ich einfach die Schritte der vollst. Ind. anwenden muss. Aber bisher hatte ich da immer eine Gleichung bzw. Ungleichung.
Gegeben ist folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(-1)^{k+1}\frac{2k+1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Und dazu habe ich folgende Partialsummenfolge gefunden:

$\begin{eqnarray*} s_n=\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich ja keine Gleichung, oder? Ich muss doch irgendwie zeigen, dass jedes Glied der Partialsumme mit dem entsprechenden Glied der Reihe übereinstimmt, oder?

Irgendwie stehe ich wie immer auf dem Schlauch...

Danke dir!

Carlo

30.11.2008, 12:21

klarsoweit

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RE: Partialsummen

Zitat:

Original von barthcar
$\begin{eqnarray*} s_n=\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich ja keine Gleichung, oder?

Abgesehen von dem Problem, daß du links den Index n hast, der aber rechts nicht vorkommt, sieht das doch wie eine Gleichung aus, oder? verwirrt

verwirrt

Ob die Formel stimmt, ist eine andere Frage.

Zitat:

Original von barthcar
Ich muss doch irgendwie zeigen, dass jedes Glied der Partialsumme mit dem entsprechenden Glied der Reihe übereinstimmt, oder?

Du mußt zeigen, daß für die Partialsumme s_n gilt: $\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n~(-1)^{k+1}\frac{2k+1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Hier bietet sich die vollständige Induktion an.

30.11.2008, 12:24

barthcar

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RE: Partialsummen
Ich danke dir!

Werde das gleich erstmal versuchen...

Wenn ich Probleme hab schreibe ich nochmal!! Freude

Freude

Carlo

(P.s.: Ob die Partialsummenfolge stimmt oder nicht, wird sich ja dann bei dem Beweis zeigen)

30.11.2008, 13:18

barthcar

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RE: Partialsummen
Okay wie erwartet habe ich ein Problem.

Also Induktionsanfang ist ja erstmal klar, stimmt auch wie erwartet.
Im Induktionsschritt habe ich dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+2}}{k+2}+1 = \sum_{k=1}^n~(-1)^{k+2}\frac{2k+3}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Zwischenfrage: ist das überhaupt der richtige Ansatz, oder müsste in der Summe bis n+1 stehen oder sowas?

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)(-1)^{k+1}}{(k+1)+1}+1 = \sum_{k=1}^n~(-1)(-1)^{k+1}\frac{(2k+1)+2}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)+1}+1 = \sum_{k=1}^n~(-1)^{k+1}\frac{(2k+1)+2}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter...
Ist das so überhaupt richtig?

Carlo

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30.11.2008, 13:26

klarsoweit

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RE: Partialsummen

Zitat:

Original von barthcar
Im Induktionsschritt habe ich dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+2}}{k+2}+1 = \sum_{k=1}^n~(-1)^{k+2}\frac{2k+3}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Links - wie schon gesagt - darf nicht die Variable k, sondern da muß n stehen.
Auf der rechten Seite hast du nicht n durch n+1 ersetzt, sondern k durch k+1. Das ist eben falsch.

30.11.2008, 13:35

barthcar

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RE: Partialsummen
Das habe ich mir schon fast gedacht...

Also ist der richtige Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n+2}}{n+2}+1 = \sum_{k=1}^{n+1}~(-1)^{k+1}\frac{2k+1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Da ich aber mit dem Summenzeichen noch so meine Problemchen hab, weiß ich leider überhaupt nicht wie es jetzt weiter geht...Muss ich da eine Indexverschiebung machen? Also so hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n+2}}{n+2}+1 = \sum_{k=0}^n+~(-1)^{k}\frac{2k-1}{k(k-1)} \end{eqnarray*}$

Wenn ja weiß ich trotzdem nicht was als nächstes kommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke dir für deine superschnellen und hilfreichen Antworten Gott

Gott

Carlo

30.11.2008, 13:38

klarsoweit

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RE: Partialsummen

Zitat:

Original von barthcar
Da ich aber mit dem Summenzeichen noch so meine Problemchen hab, weiß ich leider überhaupt nicht wie es jetzt weiter geht...Muss ich da eine Indexverschiebung machen?

Nein. Du mußt lediglich den letzten Summanden aus der Summe rausziehen.

30.11.2008, 13:57

barthcar

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RE: Partialsummen
Dann hätte ich jetzt das hier im Angebot:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n+2}}{n+2}+1 = (-1)^{n+2}\frac{2n+3}{(n+2)(n+1)}+ \sum_{k=1}^n~(-1)^{k+1}\frac{2k+1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left( \frac{(-1)^{n+2}}{n+2}+1 \right) - (-1)^{n+2}\frac{2n+3}{(n+2)(n+1)}=\sum_{k=1}^n~(-1)^{k+1}\frac{2k+1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{(-1)^{n+2} \cdot (n+1) + (n+1)(n+2)-(-1)^{n+2} \cdot (2n+3)}{(n+1)(n+2)}=\sum_{k=1}^n~(-1)^{k+1}\frac{2k+1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Sieht das jetzt so gut aus?
Und natürlich die typische Frage: was nun? Eigentlich müsste doch der Ausdruck links des Gleichheitszeichens jetzt wieder dem aus der Induktionsbehauptung entsprechen, oder?

Carlo

30.11.2008, 14:02

klarsoweit

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RE: Partialsummen

Zitat:

Original von barthcar
Eigentlich müsste doch der Ausdruck links des Gleichheitszeichens jetzt wieder dem aus der Induktionsbehauptung entsprechen, oder?

Genau. Du kannst für die Summe auf der rechten Seite die rechte Seite der Induktionsbehauptung einsetzen. Auf der linken Seite kannst du im Zähler $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

30.11.2008, 14:08

barthcar

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RE: Partialsummen

Zitat:

Original von klarsoweit

Du kannst für die Summe auf der rechten Seite die rechte Seite der Induktionsbehauptung einsetzen. Auf der linken Seite kannst du im Zähler $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

Meinst du nicht die linke Seite?

30.11.2008, 14:14

klarsoweit

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RE: Partialsummen
OK. Habe jetzt etwas links und rechts vertauscht. Wenn man von

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + 1 = \sum_{k=1}^{n}~(-1)^{k+1}\frac{2k+1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

ausgeht, ist es natürlich die linke Seite. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2008, 14:34

barthcar

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RE: Partialsummen
So ein Mist ich krieg das einfach nicht aufgelöst. unglücklich

unglücklich

Es tut mir leid aber ich glaube du musst mir noch nen kleinen anstoß geben.

Bin jetzt soweit:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \cdot \left( \frac{1+\frac{n+2}{(-1)^{n+2}}}{n+2}-\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}\right)=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}+1 \end{eqnarray*}$

Was kommt jetzt?

Carlo

30.11.2008, 14:45

klarsoweit

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RE: Partialsummen
Ach, jetzt hast du das $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ aus allen Summanden ausgeklammert. Ich meinte das:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n+2} \cdot (n+1) + (n+1)(n+2) - (-1)^{n+2} \cdot (2n+3)}{(n+1)(n+2)} = \frac{(-1)^{n+2} \cdot (n+1-2n-3) + (n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(-1)^{n+2} \cdot (-n-2)}{(n+1)(n+2)} + 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du fast am Ziel. Das Minus aus -n-2 rausziehen, durch n+2 kürzen. Fertig.

30.11.2008, 14:54

barthcar

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RE: Partialsummen
Super!!! Mit Zunge

Mit Zunge

Wäre ich nicht drauf gekommen...
Aber jetzt ist ja alles klar... und meine Partialsummenfolge war also richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hoffe ich kriege das für die zweite Reihe jetzt alleine hin.

Danke dir wie immer ganz doll.

Carlo Wink

Wink

30.11.2008, 15:41

barthcar

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Hab leider bei der zweiten Reihe die ich lösen muss das gleiche Problem:

Wie vereinfache ich das?:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+2}{2n+3}-\frac{4n+3}{(2n+2)(2n+1)}+\frac{4n+5}{(2n+2)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

Hab schon im Nenner mit quadratischer Ergänzung probiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+2}{2n+3}-\frac{4n+3}{(2n+2)^2 -2n-1}+\frac{4n+5}{(2n+2)^2 +2n+1} \end{eqnarray*}$

Hast du noch irendeinen Tipp für mich?

Danke...

Carlo

30.11.2008, 15:44

klarsoweit

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Da kannst du alle Brüche nur auf den Hauptnenner bringen. Am besten postest du aber die komplette Aufgabe.

30.11.2008, 15:53

barthcar

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Ok.
Die Reihe heisst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\left( \frac{4k-1}{2k(2k-1)}-\frac{4k+1}{2k(2k+1)}\right) \end{eqnarray*}$

Die Partialsummenfolge heisst:

$\begin{eqnarray*} s_n=\frac{2n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Im Induktionsschritt kommt dann das besagte Problem:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+2}{2n+3}-\frac{4n+3}{(2n+2)(2n+1)}+\frac{4n+5}{(2n+2)(2n+3)}=s_n=\frac{2n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Das muss doch irgendwie gehen!

Carlo

30.11.2008, 16:16

klarsoweit

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Das geht auch irgendwie. Aber noch einen Tipp zum Verfahren. Du mußt im Induktionsschritt ja dieses zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\left( \frac{4k-1}{2k(2k-1)}-\frac{4k+1}{2k(2k+1)}\right) = \frac{2n+2}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Am einfachsten nimmt du nun die linke Seite und formst diese um. Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\left( \frac{4k-1}{2k(2k-1)} - \frac{4k+1}{2k(2k+1)}\right) = \sum_{k=1}^n~\left( \frac{4k-1}{2k(2k-1)} - \frac{4k+1}{2k(2k+1)}\right) + \frac{4n+3}{(2n+2)(2n+1)} - \frac{4n+5}{(2n+2)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2n}{2n+1} + \frac{4n+3}{(2n+2)(2n+1)} - \frac{4n+5}{(2n+2)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

Das bringst du jetzt mal auf einen Bruch.

30.11.2008, 16:37

barthcar

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Da bleibt dann folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{8n^3+20n^2+16n+4}{8n^3+24n^2+16n+6}=\frac{2n+2}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Sieht ja schonmal ganz schön aus...

Aber warum ist das gleich? Muss ich jetzt wieder quadratische (kubische?) Ergänzung machen?

Carlo

30.11.2008, 17:04

klarsoweit

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Abgesehen davon, daß der Nenner nicht stimmt, hättest du den Klammerausdruck ruhig stehen lassen können.

Für den Zähler schreibst du: $\begin{eqnarray*} 8n^3+20n^2+16n+4 = (2n+1) \cdot (4n^2+8n+4) \end{eqnarray*}$

Und wer schon mal binomische Formeln gesehen hat, kann auch was mit dem quadratischen Term anfangen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2008, 17:28

barthcar

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Danke dir vielmals!!!

Hab gehofft das ich das alleine hinkriege. aber etwas professionelle Hilfe kann doch nie schaden! Big Laugh

Big Laugh

Schönen abend noch!

Carlo Wink

Wink

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