Partialsumme und e

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29.11.2008, 20:54	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialsumme und e Hallo, Mein Augabe ist: Zeigen Sie, dass für die n-te Partialsumme $\begin{eqnarray} s_n = \sum^n_{k=0} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ der Reihe $\begin{eqnarray} \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} = e \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \| e - s_n \| < \frac {1} {n!n} \end{eqnarray}$ Zur Lösung: $\begin{eqnarray} \left\| \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} - \sum^n_{k=0} \frac{1}{k!} \right\| < \frac {1} {n!n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| \sum^{\infty}_{k=n} \frac{1}{k!} \right\| < \frac {1} {n!n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| \sum^{\infty}_{k=n} \frac{1}{k!} \right\| = \frac {1}{n!} + \frac {1}{(n+1)!} + \frac {1}{(n+2)!} + \ldots = \frac {1}{n!} + \frac {1}{n!(n+1)} + \frac {1}{n!(n+2)} + \ldots < \frac {1}{n!} + \frac {n+1}{n!(n+1)} + \frac {n+2}{n!(n+2)} + \ldots = \underbrace{\frac {1}{n!} + \frac {1}{n!} + \frac {1}{n!} + \ldots + \frac {1}{n!}}\limits_{\infty - mal} \end{eqnarray}$ Hier hängt es grad. Kann mir wer einen Anstoss geben, bitte?
29.11.2008, 21:14	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will nur kurz darauf aufmerksam machen, dass der Summand 1/n! auch wegfällt.
29.11.2008, 21:17	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, wo?
29.11.2008, 21:24	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialsumme und e $\begin{eqnarray} \left\| \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} - \sum^n_{k=0} \frac{1}{k!} \right\|=\left\| \left(\frac{1}{0!}+ \cdots +\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}+\cdots \right)-\left(\frac{1}{0!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\right\| \end{eqnarray}$
29.11.2008, 21:30	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaah vielen dank : )
29.11.2008, 21:35	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs, super waren noch mehr fehler drin - aber den du mir gesagt hast war sehr entscheidend. Danke nochmal ^^
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29.11.2008, 21:39	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem Könntest du vielleicht die Lösung oder die zum Ziel führende Abschätzung mal posten?
29.11.2008, 22:36	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar. Also fangen wir in der Zeile an: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} < \frac{1}{n!n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+3)!} + \ldots = \frac{1}{n!(n+1)} + \frac{1}{n!(n+1)(n+2)} + \frac{1}{n!(n+1)(n+2)(n+3)} + \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{n!} \cdot \left( \underbrace{\frac{1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \ldots }\limits_{< 1}\right) = \frac{1}{n!n} \cdot \left( \underbrace{\frac{1}{(1+\frac{1}{n})} + \frac{1}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})} + \frac{1}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})(1+\frac{3}{n})} + \ldots }\limits_{< 1}\right) < \frac{1}{n!n} \end{eqnarray}$ Wobei ich mir nicht sicher bin mit den "< 1" Abschätzungen, wie kann ich das zeigen? Stimmt das überhaupt?
30.11.2008, 00:40	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß auch nicht, ob die Abschätzung, die du vorgenommen hast, so ohne weiteres funktioniert. Einen alternativen Weg habe ich aber in dem Buch "Was ist Mathematik" von Courant gefunden, wo mit einer geometrischen Reihe argumentiert wird: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+3)!} + \ldots = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)!(n+2)} + \frac{1}{(n+1)!(n+2)(n+3)} + \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{(n+1)!} \cdot\left(1+\frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \ldots\right)< \frac{1}{(n+1)!} \cdot\left(1+\frac{1}{(n+2)^1} + \frac{1}{(n+2)^2} + \ldots\right)=\frac{1}{(n+1)!}\cdot\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)^k}\right) \end{eqnarray}$ Wenn man die Summenformel für die Reihe benutzt, umformt und noch eine kleine Abschätzung macht, müsste man zu der Behauptung kommen. Ich hoffe mal, dass ich damit gegen keine Regel verstoßen habe, und wünsche gute Nacht
30.11.2008, 13:55	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, hier find ich grad keine Abschätzung die mich ans Ziel bringt. Kannst du mir einen Tip geben? ^^
30.11.2008, 14:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du die geometrische Reihe mal ausgerechnet? Was kommt dabei raus?
30.11.2008, 15:04	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe das gefunden für eine geometrische Reihe: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q} \end{eqnarray}$ für \|q\|<1 Auf dieses Beispiel angewandt sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty 1 \cdot \left(\frac {1}{n+2}\right)^k = \frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} \end{eqnarray}$ Stimmt das?
30.11.2008, 15:20	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, das stimmt, du solltest aber noch den Bruch vereinfachen.
30.11.2008, 16:27	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
gut. also gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n+2}{n+1} = \frac{n+2}{n!(n+1)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n+2}{n!(n+1)^2} = \frac{n+2}{n!(n^2+2n+1)} < \frac{n+2}{n!(n^2+2n)} = \frac{n+2}{n!n(n+2)} = \frac{1}{n!n} \end{eqnarray}$ Danke nochmal

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