Resolvente Kompakt, selbstadjungierte Operatoren

29.11.2008, 22:18	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Resolvente Kompakt, selbstadjungierte Operatoren Hallo allerseits, ich hab mal wieder eine Frage. Zunächst was wir haben : Sei A ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum H dessen Spektrum nur aus isolierten Punkten endlicher Vielfachheit besteht. Dann ist zu zeigen, dass die Resolvente $\begin{eqnarray} (A - \mu)^{-1} \end{eqnarray}$ kompakt ist. Mü ist hier ein Punkt aus der Resolventenmenge (nicht Spektrum). So nun meine Idee, wir wissen das für $\begin{eqnarray} \lambda \in \delta(A) \end{eqnarray}$ gilt : $\begin{eqnarray} \dim \mathop{ker}(A - \lambda) < \infty \end{eqnarray}$ (endliche Vielfachheit) sei nun $\begin{eqnarray} x_n \subset H \end{eqnarray}$ eine beschränkte Folge, es ist zu zeigen dass dann $\begin{eqnarray} (A - \mu)^{-1}x_n \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge besitzt. Ich habe mir jetzt folgendes gedacht. $\begin{eqnarray} (A - \mu)^{-1} \end{eqnarray}$ ist nach Voraussetzung stetig, das heisst $\begin{eqnarray} (A - \mu)^{-1}x_n =: y_n \end{eqnarray}$ ist ebenfalls beschränkt. Meine Frage ist nun ob man immer ein $\begin{eqnarray} x \in H \end{eqnarray}$ wählen kann, so dass es eine Teilfolge $\begin{eqnarray} y_{n_k} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} y_{n_k} - x \in \mathop{Ker}(A - \lambda) \end{eqnarray}$ . In dem Fall wäre ich nämlich fertig. viele Grüße Mazze
04.12.2008, 22:07	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wir ja immer auch an einer Lösung interssiert sind. Ich hab es hinbekommen. Die Beweisskizze. Die Kompaktenoperatoren bilden eine abgeschlossene Teilmenge der stetigen Operatoren. Infolge dessen ist die Idee, die Resolvente mit einer Folge von Operatoren die endlichdimensionales Bild haben zu approximieren. Operatoren mit endlichdimensionalem Bild sind stets kompakt. Da A selbstadjungiert ist können wir den messbaren Funktionalkalkül anwenden, seien $\begin{eqnarray} f : \delta(A) \to \mathbb{R} ~ x \mapsto x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu \in \rho(A) ~ f_\mu : \delta(A) \to \mathbb{R} ~ x \mapsto \mu \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} (f - f_\mu)(A) = A - \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{f - f_\mu}(A) = (A - \mu)^{-1} \end{eqnarray}$ Für allgemein bechränkte messbare g gilt $\begin{eqnarray} g(A) = \int_{\delta(A)} g(\lambda)dE_\lambda \end{eqnarray}$ daher bekommen wir $\begin{eqnarray} \frac{1}{f - f_\mu}(A) = \int_{\delta(A)}\frac{1}{f - f_\mu}(\lambda)dE_\lambda \end{eqnarray}$ Nun haben wir diskretes Spektrum also ist $\begin{eqnarray} (A - \mu)^{-1} = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{f - f_\mu}(\lambda_i)E_{\lambda_i} \end{eqnarray}$ Setze nun $\begin{eqnarray} T_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f - f_\mu}(\lambda_i)E_{\lambda_i} \end{eqnarray}$ und zeige das diese Operatorfolge gegen die Resolvente konvergiert. Fertig.

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