Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen

30.11.2008, 11:50

Svenja1986

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Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen

Wink

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3 = 1-2i \end{eqnarray*}$ und stellen Sie die Lösungen in der komplexen Zahlenebene dar.

So, das macht man ja mit folgender Formel:

$\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^\frac{\varphi + k \cdot 2\pi}{n} i \end{eqnarray*}$

a = 1, b = -2, n = 3

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi = 300° = \frac{5}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich das auf die Formel an:

$\begin{eqnarray*} z_0 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{\frac{5}{3}\pi + 0 \cdot 2\pi}{3} i} = e^{\frac{5}{9}\pi i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{\frac{5}{3}\pi + 1 \cdot 2\pi}{3} i} = e^{\frac{11}{9}\pi i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{\frac{5}{3}\pi + 2 \cdot 2\pi}{3} i} = e^{\frac{17}{9}\pi i} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt aber zeichen will, liegt keiner der 3 "Punkte" auf $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3}\pi \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Vielleicht kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt smile

smile

30.11.2008, 12:36

tigerbine

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RE: Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen
$\begin{eqnarray*} z^3 = 1-2i \end{eqnarray*}$

z³ liegt im IV Quadraten (Winkel zwischen 1.5pi und 2pi)

$\begin{eqnarray*} z^3 =\sqrt{1^2+2^2}\cdot e^{i\cdot \varphi} \end{eqnarray*}$

Wie hast denn denn den Winkel berechnet?

30.11.2008, 13:04

Svenja1986

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Den Winkel habe ich so berechnet, wie "outSchool" es hier erklärt hat:

Komplexe Zahlen (Polarkoordinaten/kartesische Koordinaten)

30.11.2008, 13:11

tigerbine

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Mmh... da komme ich dann aber nicht auf 300°(DEG)...

$\begin{eqnarray*} \tan^{-1}(-2)\approx -63,43^\circ = 296,57^\circ \end{eqnarray*}$

30.11.2008, 13:24

Svenja1986

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Dann stimmen aber die 120°, die "outSchool" in dem anderen Thema errechnet hat, auch nicht... Oder? verwirrt

verwirrt

30.11.2008, 13:39

tigerbine

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Was sind denn nun a und b? Ich habe mir die Kompleze Zahl z³ nun mal in ein xy-Koordinatensystem gemalt. Ziehe ich um den Urpsrung einen Kreis mit Radius Wurzel(5), so liegt z³ darauf. Ferner kann ich schreiben

$\begin{eqnarray*} z^3=1 + (-2)i \end{eqnarray*}$

Also hat der Punkt z³ die Koordinaten (1/-2). Bilde ich nun mit der x-Achse und dem Ursprung ein rechtwinkliges Dreieck, dann lauten die Eckpunkte:

O(0/0), X(1/0), Z(1/-2)

Welche Innenwinkel hat das Dreieck?

$\begin{eqnarray*} \sphericalangle ZOA = \tan^{-1}(\frac{2}{1}) = \sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) =\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}}) \approx 63,43^\circ \end{eqnarray*}$

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30.11.2008, 18:20

Svenja1986

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RE: Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen
Ok, ja das verstehe ich.

296,57° wären ja $\begin{eqnarray*} 1,65 \pi \end{eqnarray*}$ . Richtig?

Wenn ich das dann auf die Formel anwende:

$\begin{eqnarray*} z_0 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{1,65\pi + 0 \cdot 2\pi}{3} i} = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{0,55\pi i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{1,65\pi \cdot 2\pi}{3} i} = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{1,22\pi i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{1,65\pi + 2 \cdot 2\pi}{3} i} = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{1,88\pi i} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

30.11.2008, 18:40

tigerbine

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RE: Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen
Es ist also

$\begin{eqnarray*} z^3=\sqrt{5} \cdot \exp(i \cdot \tan^{-1}(-2)) \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich für den neuen Radius.

$\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt[6]{5} \end{eqnarray*}$

Der einfachste passende Winkel ist

$\begin{eqnarray*} \varphi_1=\frac{\tan^{-1}(-2)}{3} \end{eqnarray*}$

Wie finden wir die anderen?

$\begin{eqnarray*} \varphi_2=\frac{\tan^{-1}(-2) + 360^\circ}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_3=\frac{\tan^{-1}(-2) + 720^\circ}{3} \end{eqnarray*}$

Wenn du damit die Probe machst, sollte immer wieder das geforderte z³ herauskommen. Ich würde, wenn es keine glatten Winkel sind, die gerundet Ergebnisse als Zusatz angeben, nicht als Lösung.

30.11.2008, 18:53

Svenja1986

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Okay, dann bekomme ich ja die gleichen Ergebnisse bzw. Punkte, wie ich oben auch habe...

Aber keiner dieser Punkte bzw. keiner deiner Winkel ist 296,57°.
Das verwirrt mich, denn bei unseren Bespielen liegt immer einer der Punkte auf dem zuvor "errechneten" Winkel.
Oder ist das Zufall und es muss nicht immer so sein?

30.11.2008, 18:59

tigerbine

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Was ist denn daran verwunderlich? verwirrt

verwirrt

Denn der Endwinkel mal drei modulo 360° ist eben nicht wieder der Endwinkel.

30.11.2008, 19:12

outSchool

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RE: Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen

Zitat:

Original von Svenja1986
Wink

Wink

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3 = 1-2i \end{eqnarray*}$ und stellen Sie die Lösungen in der komplexen Zahlenebene dar.

So, das macht man ja mit folgender Formel:

$\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^\frac{\varphi + k \cdot 2\pi}{n} i \end{eqnarray*}$

a = 1, b = -2, n = 3

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi = 300° = \frac{5}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich das auf die Formel an:

$\begin{eqnarray*} z_0 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{\frac{5}{3}\pi + 0 \cdot 2\pi}{3} i} = e^{\frac{5}{9}\pi i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{\frac{5}{3}\pi + 1 \cdot 2\pi}{3} i} = e^{\frac{11}{9}\pi i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \sqrt[3]{\sqrt5} \cdot e^{\frac{\frac{5}{3}\pi + 2 \cdot 2\pi}{3} i} = e^{\frac{17}{9}\pi i} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt aber zeichen will, liegt keiner der 3 "Punkte" auf $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3}\pi \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Vielleicht kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt smile

smile

Der Rechenweg ist richtig!

$\begin{eqnarray*} \varphi = 296,57° \text{ gilt für } z^3 \text{ und muss nicht unbedingt für } z_0, z_1, z_2 \text{ gelten.} \end{eqnarray*}$

30.11.2008, 19:18

tigerbine

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RE: Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen
Nun steht deine Aussage gegen meine. Für die Wahrheit räume ich ja gerne das Feld. Aber ich kann die 300° nicht nachvollziehen.

Damit ein Winkel von -60° vorliegt, müssten die Katheden im Verhältnis Wurzel(3) zu einander stehen. http://de.wikipedia.org/wiki/Tangens#Wichtige_Funktionswerte

30.11.2008, 19:54

Svenja1986

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RE: Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen

Zitat:

Original von outSchool

Die Ergebnisse sind richtig!

$\begin{eqnarray*} \varphi = 300° = \frac{5}{3}\pi \text{ gilt für } z^3 \text{ und nicht für } z_0, z_1, z_2 \end{eqnarray*}$

Nun verstehe ich gar nichts mehr unglücklich

unglücklich

Von unserem Prof haben wir so eine Tabelle bekommen, wie man $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ausrechnet.
Da a größer 0 ist und b kleiner 0 ist, müsste man folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} tan^-1 (-2) + 2\pi \end{eqnarray*}$ und das wären $\begin{eqnarray*} 1,65 \pi \end{eqnarray*}$ , was ja den 296,57° von "tigerbine" entspricht.

Und, wenn ich mir das jetzt mal aufzeichne und das Geodreieck dranlege, komme ich auch nicht auf 300°... verwirrt

verwirrt

Eher auf 296,57...

Naja, und $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ ist ja gleich $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ...

30.11.2008, 20:06

outSchool

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@tigerbine: Vielen Dank für Deinen Hinweis.

Entschuldige bitte meine Spontanität, ich habe meine Aussage korrigiert.

30.11.2008, 20:07

tigerbine

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Null problemo. Wink

Wink

30.11.2008, 20:10

Svenja1986

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RE: Komplexe Gleichung, Lösungen in komplexer Zahlenebene darstellen

Zitat:

Original von outSchool

$\begin{eqnarray*} \varphi = 296,57° \text{ gilt für } z^3 \text{ und muss nicht unbedingt für } z_0, z_1, z_2 \text{ gelten.} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Also, ich bekomme für $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ raus...

$\begin{eqnarray*} z_3 = \sqrt[6]{5} \cdot e^{\frac{1,65\pi + 3 \cdot 2\pi}{3} i} = \sqrt[6]{5} \cdot e^{2,55\pi i} \end{eqnarray*}$

Warum?

30.11.2008, 20:18

outSchool

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Bitte $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ nicht mit $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ verwechseln. $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ gehört nicht zur Lösungsmenge.

30.11.2008, 20:20

Svenja1986

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Oh ups

Finger1

Jetzt ist alles klar Tanzen

Tanzen

Danke für eure Hilfe Gott

Gott

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