Integration, Stammfunktion

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Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »
Integration, Stammfunktion
Hallo,
ich suche verzweifelt nach einer Stammfunktion von 1/(x²+1), habe bis jetzt aber keine gefunden. Vermutlich ist es ganz einfach, aber ich komme einfach nicht drauf und weiß auch gar nicht mit welcher Methode.

Kann mir jemand weiterhelfen?
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

.

\Edit:

Ok, habs mal rausgemacht. Dachte ich kann hier in dem Fall das einfach so hinschreiben.
Dann macht ihr mal weiter.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration, Stammfunktion
Leite mal den Tangens ab, drücke die Ableitung wieder mit Tangens-Termen aus und versuche dich dann an der Formel zur Ableitung der Umkehrfunktion.

Grüße Abakus smile
espresso Auf diesen Beitrag antworten »

Such mal die Stammfunktion wenn du umformst: (x^{2} +1)^{-1}
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@espresso: und was soll das bringen? verwirrt

@Hans87: du kannst es auch mit der Substitution x = tan(u) versuchen.
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

@Abakus:

(tan x)'=1/cos²x= tan²x +1
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: nimm den Weg mit der Substitution.
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

ich setze also u=tan^-1 x; aber bekomme ich dann nicht ein Problem mit dem Def-bereich? und was ist dann du/dx?
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

tan^-1 (x)=1/(tan'(tan^-1(x))
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hans87
ich setze also u=tan^-1 x

Jein. Du setzt x = tan(u). Dann kannst du auch bestimmen. (Hattest du oben im Prinzip schon.)
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich jetzt tan durch sin und cos ersetzen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt denn das tan(u) + 1 in den Zähler? verwirrt
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

ich dachte, das macht man so...
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe du/dx berechnet und da kam bei mir gerade tan u +1 heraus,
ach das gehört in den Nenner...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das gehört nicht in den Nenner und siehe hier:
Zitat:
Original von Hans87
(tan x)'=1/cos²x= tan²x +1
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir Leid, ich weiß nicht, wie man das jetzt durchführen soll...
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

dann erhalte ich dx=(tan²u+1)*du
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

Nenner und Zähler sind dann also identisch und ich erhalte für das Integral I:
I=u (+C) , wobei x=tan u und wenn das Integral nun von 0 bis plus unendlich läuft?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt darfst du für u den arctan(x) einsetzen und hast damit eine Stammfunktion von 1/(x²+1) .
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

bekomme ich dann pi/2
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal zusammenfassend:



stimmt das so?
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich da jetzt noch einen Vorzeichenfehler drinnen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist ok. Wobei ich es für besser halte, wenn man erst die obere Grenze mit b bezeichnet und dann b gegen unendlich gehen läßt.
Hans87 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe und noch einen schönen Abend
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