Integration, Stammfunktion |
30.11.2008, 13:10 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Integration, Stammfunktion ich suche verzweifelt nach einer Stammfunktion von 1/(x²+1), habe bis jetzt aber keine gefunden. Vermutlich ist es ganz einfach, aber ich komme einfach nicht drauf und weiß auch gar nicht mit welcher Methode. Kann mir jemand weiterhelfen? |
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30.11.2008, 13:16 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
. \Edit: Ok, habs mal rausgemacht. Dachte ich kann hier in dem Fall das einfach so hinschreiben. Dann macht ihr mal weiter. |
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30.11.2008, 13:17 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Integration, Stammfunktion Leite mal den Tangens ab, drücke die Ableitung wieder mit Tangens-Termen aus und versuche dich dann an der Formel zur Ableitung der Umkehrfunktion. Grüße Abakus |
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30.11.2008, 13:21 | espresso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Such mal die Stammfunktion wenn du umformst: (x^{2} +1)^{-1} |
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30.11.2008, 13:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@espresso: und was soll das bringen? @Hans87: du kannst es auch mit der Substitution x = tan(u) versuchen. |
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30.11.2008, 14:42 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Abakus: (tan x)'=1/cos²x= tan²x +1 |
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30.11.2008, 14:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie gesagt: nimm den Weg mit der Substitution. |
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30.11.2008, 15:16 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich setze also u=tan^-1 x; aber bekomme ich dann nicht ein Problem mit dem Def-bereich? und was ist dann du/dx? |
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30.11.2008, 15:21 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tan^-1 (x)=1/(tan'(tan^-1(x)) |
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30.11.2008, 15:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jein. Du setzt x = tan(u). Dann kannst du auch bestimmen. (Hattest du oben im Prinzip schon.) |
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30.11.2008, 15:36 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
30.11.2008, 15:40 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
soll ich jetzt tan durch sin und cos ersetzen? |
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30.11.2008, 15:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kommt denn das tan(u) + 1 in den Zähler? |
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30.11.2008, 15:46 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich dachte, das macht man so... |
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30.11.2008, 15:49 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe du/dx berechnet und da kam bei mir gerade tan u +1 heraus, ach das gehört in den Nenner... |
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30.11.2008, 15:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das gehört nicht in den Nenner und siehe hier:
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30.11.2008, 16:08 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tut mir Leid, ich weiß nicht, wie man das jetzt durchführen soll... |
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30.11.2008, 16:12 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann erhalte ich dx=(tan²u+1)*du |
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30.11.2008, 16:18 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nenner und Zähler sind dann also identisch und ich erhalte für das Integral I: I=u (+C) , wobei x=tan u und wenn das Integral nun von 0 bis plus unendlich läuft? |
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30.11.2008, 16:23 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt darfst du für u den arctan(x) einsetzen und hast damit eine Stammfunktion von 1/(x²+1) . |
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30.11.2008, 16:27 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bekomme ich dann pi/2 |
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30.11.2008, 16:31 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also nochmal zusammenfassend: stimmt das so? |
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30.11.2008, 16:48 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab ich da jetzt noch einen Vorzeichenfehler drinnen? |
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30.11.2008, 17:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Ergebnis ist ok. Wobei ich es für besser halte, wenn man erst die obere Grenze mit b bezeichnet und dann b gegen unendlich gehen läßt. |
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30.11.2008, 17:26 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für deine Hilfe und noch einen schönen Abend |
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