Konvergenz und Grenzwert

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kim Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Grenzwert
Kann mir bitte bitte jemand helfen also die Aufgabe lautet:
Die Folge (an) sei rekursiv definiert durch a0:=0 und

an+1 =3/4an+1/4 (n element N0)
a) Zeigen Sie, dass (an) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
b) Geben Sie eine explizite Darstellung für an.

a) Also die Folge geht gegen +unendlich und ist meiner Meinung nach divergent, obwohl in der Aufgabenstellung steht sie sei kovergent, wenn ja warum?Mein größtes Problem ist dies mathematisch korrekt beweisen soll? Hat jemand einen Tipp für mich?

b)explizite Darstellung an=3/4(n-1)+1/4???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Grenzwert
Zitat:
Original von kim
an+1 =3/4an+1/4 (n element N0)

Mit Latex liest sich das besser:

Wäre a_0 = 1, würde die Folge auf der Stelle treten. Irgendwie spricht das für die Konvergenz. Augenzwinkern
kim Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das versteh ich, aber eine konvergente Folge hat doch einen Grenzwert und die Folge nähert sich diesem quasi an, hier ist der Grenzwert doch aber keine bestimmte zahl sondern unendlich oder? Warum ist die Folge dann konvergent?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich doch gezeigt, daß die Folge den Grenzwert 1 haben könnte. Du bleibst aber dabei, daß die Folge gegen unendlich geht. Wieso du darauf beharrst, verstehe ich nicht. verwirrt

Zitat:
Original von kim
Warum ist die Folge dann konvergent?

Zeige, daß die Folge monoton steigt und nach oben beschränkt ist. Daraus folgt dann die Konvergenz.
Soz.Päd. Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,

die Fogle konvergiert nicht gegen unendlich;

Es sei (Ich hoffe, Klarsoweit verzeiht mir, dass ich seine Idee aufgreife):

a(n+1) = 3/4 * a(n) + 0.25 für a(0) = 0 und
a'(n+1) = 3/4 * a'(n) + 0.25 für a'(0) = 1.

Induktiv können wir zeigen

0 < a(n) <= a'(n) = 1. für alle n e N.

Also ist die Folge a(n) beschränkt. Zudem können wir zeigen, weil
a(n) <= 1 ist: Die Folge a(n) ist monoton steigend. Wenn eine Folge beschränkt und monoton ist, hat sie einen Grenzwert.

Gruß
Soz.Päd.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Soz.Päd.
Es sei (Ich hoffe, Klarsoweit verzeiht mir, dass ich seine Idee aufgreife):

Ich weiß nicht, was das jetzt soll. verwirrt
Du hast doch nichts wesentlich anderes gesagt, als ich jetzt.
 
 
Soz.Päd. Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag;

an klarsoweit: ich hatte deinen letzten Beitrag nicht gelesen; als ich meinen geschrieben habe, hast du deinen gerade weggeschickt... .

Gruß
Soz.Päd.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einem Zeitunterschied von einer Viertelstunde? unglücklich
Soz.Päd. Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,

An klarsoweit:
werde diese Diskussion dann beenden mit der Antwort:
Ja, mit einem Zeitunterschied von einer viertel Stunde, weil ich zwischendrin einen Telefonanruf bekam und dann meinen Beitrag erst zu Ende schrieb.. .
Weiß ja nicht, welchen Zweck du dahinter vermutest, dass ich einfach deine Idee nochmals wiederholen sollte, denn ich habe besseres zu tun... .

Dennoch, schönen Sonntag.

Gruß
Soz.Päd.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@Soz.Päd: wärest du registriert, könntest du deine Beiträge noch editieren oder löschen. Damit lassen sich dann solch unnötige Verwirrungen vermeiden.
kim Auf diesen Beitrag antworten »

OK vielen vielen Dank.. mir ging ein Lichtlein auf...

Habe nur noch ein Problem und zwar wie kann ich beweisen das alle an <1 sind und die 1 quasi das Supremum der Folge ist?
Und hast du evtl. einen Tipp wie ich auf die explizite Darstellung kommen kann?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kim
Habe nur noch ein Problem und zwar wie kann ich beweisen das alle an <1 sind und die 1 quasi das Supremum der Folge ist?

Was man so macht, wenn man eine allgemeine Aussage für alle n aus den natürlichen Zahlen zeigen soll: nicht selten nimmt man die vollständige Induktion. smile
kim Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich auch schon versucht aber:
n--> n+1

an+1= 3/4an+1/4 <1 und an ist nach I.A. <1 also muss die Folge kleiner als 1 sein da 3/4*eine Zahl kleiner 1+1/4 immer kleiner 1 bleibt...
mathematisch??
Ich glaube ich weiß nicht recht was die Induktionsannahme richtig ist, da der Induktionsschritt ja schon gegeben ist oder muss ich die Folge an+1 als Induktionsannahme sehen und diese quasi n-->n+1 und dann an+1+1<1 zeigen?

Oder reicht das so:
an+1=3/4an+1/4<3/4+1/4<=1 da an<1
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Um das ganze Chaos mal zu lichten:

Behauptung: für alle n >= 0

Induktionsanfang: a_0 = 0 < 1 ist klar.

Induktionsschritt:
Es gelte für ein n:
Zu zeigen:
Es ist: q.e.d.

So einfach kann Mathematik sein. Augenzwinkern

Jetzt brauchst du noch die steigende Monotonie.
kim Auf diesen Beitrag antworten »

OK ja das hatte ich ja fast so... vielen Dank!!!
Die Folge ist doch monoton steigend bis 1, da alle an+1>an sind dies ergibt sich doch schon aus der Folge selber also da an+1=3/4an+1/4 ist mein Professor würde sagen dies ist trivial.. oder meinst du ich muss dies noch beweisen?

Naja schwieriger fällt mir die Darstellung der Folge? Vieeleicht hast du ja da noch einen tollen Tipp für mich?


Vielen vielen Dank soweit!!!!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kim
Die Folge ist doch monoton steigend bis 1, da alle an+1>an sind dies ergibt sich doch schon aus der Folge selber

Also ich sehe das der Folge nicht an. Um einen Beweis wirst du da nicht herumkommen.
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