Kurvendiskussion

30.11.2008, 13:23

KeinPlanVonNix

Kurvendiskussion

ich muss bei der fkt f(x)= 2+(x/(x+1)) die symmetrie nachweisen, also f(-x) = f(x) (achsensymmetrie) oder f(x)=-f(-x) (punktsymmetrie zum ursprung)

also z.b. f(-x)= 2+((-x)/((-x)+1)) , aber dann ist es doch ungleich -f(x)

dann muss gelten f(x)= -f(-x), oder?

30.11.2008, 13:29

Zizou66

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Könnte es nicht noch einen anderen Fall geben? Zum Beispiel, dass die Funktion weder achsensymmetrisch zur W-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Wichtig ist auch, dass du nicht nur schreibst "Achsensymmetrie", sondern, wenn du gezeigt hast, dass f(x)=f(-x) für irgendne Funktion gilt, Achsensymmetrie zur W-Achse (oder y-Achse, ist das gleiche). Denn es sind zum Beispiel alle quadratischen Funtkionen achsensymmtrisch, allerdings erfüllen noch lange nicht alle f(x)=f(-x). Analoges gilt für die Punktsymmetrie zum Ursprung.

30.11.2008, 14:17

schnica

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es gibt auch noch die symmetrie zu einem punkt. also weder x-achse noch y-achse

30.11.2008, 14:36

KeinPlanVonNix

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das ist die definition des profs, ich denke, das wir dann auch nur die anwenden sollten, was kommt denn dann raus, wenn wir davon ausgehen, es gibt nur die beiden definitionen?

30.11.2008, 14:55

KeinPlanVonNix

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kann mir mal jemand den definitionsbereich für diese funktion sagen? f(x)= 2+(x/(x+1))

geht doch alles ausser -1 oder?

30.11.2008, 15:07

Zizou66

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So ist es...

30.11.2008, 15:13

KeinPlanVonNix

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soll jetzt die polstelle der fkt an diesem punkt untersuchen (-1)

also muss ich den lim x--> -1^- berechnen und den lim x--> -1^+

wie geht das?

30.11.2008, 15:22

Zizou66

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Tja, wie geht das. Zuerst mal schreibt man es mit Latex so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1_-}~f(x) \end{eqnarray*}$

code:
1:	\lim_{x\to -1_{-}}~f(x)

Und analog mit dem Plus.

Man untersucht diese Stelle, indem man für $\begin{eqnarray*} x=-1+h \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} x=-1-h \end{eqnarray*}$ einsetzt. Das kannst du doch, versuchs mal!

30.11.2008, 15:28

KeinPlanVonNix

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kommt immer 2 1/2 raus oder?

edit, also kein pol?

30.11.2008, 15:35

Zizou66

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Da musst du dich vertan haben, überprüfe nochmals deine Rechnung. Hier das Bild zur Funktion:

Wenn jedoch eine reelwertige Zahl rauskommen würde, so nennt man diese Stelle eine hebbare Definitionslücke.

30.11.2008, 15:47

KeinPlanVonNix

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rechne mir das doch bitte mal vor smile

30.11.2008, 15:51

Zizou66

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Ich mache zumindest mal den ersten Schritt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1_+}~2+\frac{x}{x+1}=\lim_{h\to 0}~2+\frac{-1+h}{-1+h+1} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist für dich Augenzwinkern

Überprüfe doch auch noch direkt die andere Seite mit dieser Methode.

30.11.2008, 15:58

KeinPlanVonNix

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das hilft mir auch nicht viel... dann kommt da 3 raus, wenn man für h 0 einsetzt...

edit: laut tr is das einmal -oo und einmal +oo

hilft mir aber nicht weiter, muss die rechnung haben^^

30.11.2008, 16:02

Zizou66

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Das liegt daran, dass man für h nicht 0 einsetzt! Es steht doch davor, dass der Grenzwert betrachtet werden soll. Das besagt doch gerade das lim.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}~\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist auch etwas ganz anderes als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ !

So also, einen Schritt mache ich noch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}~2+\frac{-1}{h}+\frac{h}{h} \end{eqnarray*}$

Jetzt du!

30.11.2008, 16:27

KeinPlanVonNix

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aber das geht doch nicht ins unendliche.... unglücklich

ich bekomme da 4 raus unglücklich

das kann nich sein

30.11.2008, 16:29

Zizou66

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Du hast etwas ganz Grundlegendes nicht verstanden!
Was ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}~\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

Und was ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}~\frac{-1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

30.11.2008, 16:42

KeinPlanVonNix

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hilfe?

30.11.2008, 16:47

Zizou66

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Das musst du aber doch kennen, wenn es deine Aufgabe ist die Funktion auf das Verhalten an den Definitionslücken zu untersuchen...

30.11.2008, 16:51

KeinPlanVonNix

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theoretisch schon, praktisch nein unglücklich

kannst mir das nu einmal zeigen oder nicht? wär nett

30.11.2008, 17:00

Q-fLaDeN

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Ich misch mich mal kurz ein:

Wenn du die "h-Methode" nicht verstehst, kannst du auch eine konvergente Folge nehmen, die gegen die Polstelle konvergiert. Sie sagt exakt das gleiche aus, wie die Methode mit h, mit ihr lässt sich aber meiner Meinung nach leichter rechnen. (Wobei es mit der h-Methode auch nicht unbedingt schwer ist):

Man soll also bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1}~2+\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

x geht gegen -1, also setzen wir für x eine konvergente Folge, die gegen -1 geht, nämlich die einfachste:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} -1\pm\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1}~2+\frac{x}{x+1} = \lim_{n \to \infty} 2+ \frac{-1+\frac{1}{n}}{-1+\frac{1}{n}+1} \end{eqnarray*}$

Das gleiche noch mit $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für linksseitig Annäherung.

Umformen, Grenzübergang durchführen, fertig.

30.11.2008, 17:47

KeinPlanVonNix

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Zitat:

Original von Zizou66
Du hast etwas ganz Grundlegendes nicht verstanden!
Was ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}~\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

Und was ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}~\frac{-1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

das eine konvergiert gegen 1, das andere gegen -1 ?

01.12.2008, 15:16

KeinPlanVonNix

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Hab nochmal ne Frage, zur selben funktion. ich weiss, das bei -1 ne vertikale asymptote ist, wie kann ich die rechnerisch bestimmen?
mfg KeinPlanVonNix

edit: die horizontale hab ich mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm\infty} 2+ \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ berechnet, aber wie geht das nu?

01.12.2008, 15:30

Q-fLaDeN

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Die vertikale Asymptte ist die Polstelle.

Und die für die horizontale wurden dir auch schon zwei Rechenwege aufgezeigt, du müsstest nur die Beiträge mal lesen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1_+}~2+\frac{x}{x+1} = \lim_{n \to \infty} 2+ \frac{-1+\frac{1}{n}}{-1+\frac{1}{n}+1} \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1_+}~2+\frac{x}{x+1}=\lim_{h\to 0}~2+\frac{-1+h}{-1+h+1} \end{eqnarray*}$

(Den Linksseitigen Grenzwert dabei nicht vergessen!)

Zitat:

Original von KeinPlanVonNix

Zitat:

das eine konvergiert gegen 1, das andere gegen -1 ?

Wie kommst du denn darauf? verwirrt

01.12.2008, 15:35

KeinPlanVonNix

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Zitat:

Original von KeinPlanVonNix

Zitat:

das eine konvergiert gegen 1, das andere gegen -1 ?

Wie kommst du denn darauf? verwirrt

[/quote]

hast ja recht, konvergiert ins unendliche, bzw ins - unendliche

01.12.2008, 15:38

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von KeinPlanVonNix
hast ja recht, konvergiert ins unendliche, bzw ins - unendliche

Jein, sie divergieren!

Sorry, ich hatte die Frage falsch gelesen, du willst ja

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm\infty} 2+ \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

bestimmen.

Den Bruch kannst du hier vereinfachen, Klammere x aus und kürze es.

01.12.2008, 15:54

KeinPlanVonNix

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Die vertikale Asymptte ist die Polstelle.

Und die für die horizontale wurden dir auch schon zwei Rechenwege aufgezeigt, du müsstest nur die Beiträge mal lesen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1_+}~2+\frac{x}{x+1} = \lim_{n \to \infty} 2+ \frac{-1+\frac{1}{n}}{-1+\frac{1}{n}+1} \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -1_+}~2+\frac{x}{x+1}=\lim_{h\to 0}~2+\frac{-1+h}{-1+h+1} \end{eqnarray*}$

(Den Linksseitigen Grenzwert dabei nicht vergessen!)

ohne scheiss, ich check das garnich mit dem h und das andere auch nicht, eigentlich wird doch h 0 und bei dem anderen 1/n , wenn n gegen unendlich geht, wirds doch auch null...

01.12.2008, 16:06

Q-fLaDeN

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Wie schon gesagt, das ist der Grenzwert, gegen die Polstelle,nicht dass du jetzt denkst, dass man damit die waagrechte Asymptote bestimmen kann.
Da hab ich mich vorhin verkuckt.

Ok, ich versuchs dir nochmal verständlich zu erklären, zur Polstelle:

Du hast eine Funktion, die bei -1 eine Polstelle hat (das ist dir ja klar). Polstellen werden auch "Unendlichkeitsstellen" genannt, ein bisschen unmathematisch, aber trotzdem "richtig". Das bedeutet, dass die Funktion bei dieser Stelle gegen unendlich geht, ob plus oder minus oder beides ist ja erstmal egal.

D. h. du musst bei der Grenzwertbetrachtung gegen die Polstelle irgendwas mit unendlich rausbekommt, wenn du eine konkrete Zahl raus bekommst, dann weißt du, dass du was falsch gemacht hast. Jetzt mal das zu berechnende:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1}~2+\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

Die -1 kann und darf man hier nicht einfach einsetzen, denn diese Funktion ist dort nicht stetig, hat eben eine Polstelle bei -1. Deshalb setzt man für x nicht -1 sondern nähert sich der Stelle sowohl von links als auch von rechts. Das drückt man mit $\begin{eqnarray*} x = \lim_{h \to 0} -1\pm h \end{eqnarray*}$ aus. Für rechtsseitige annäherung das +h und für linksseitige das -h. (Ob man jetzt h, b oder $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ dafür nimmt ist völlig egal, aber gewöhnlicherweise nutzt man h.

Also setzt man das für x ein.
Rechtsseitge Annäherung an die Polstelle:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~2+\frac{-1+h}{-1+h+1} \end{eqnarray*}$

Und linksseitige Annäherung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~2+\frac{-1-h}{-1-h+1} \end{eqnarray*}$

Das dürfte nun keine Probleme mehr bereiten.

Du kannst für die Annäherung, wie schon gesagt, anstatt $\begin{eqnarray*} x = \lim_{h \to 0}-1 \pm h \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x=\lim_{n \to \infty}-1\pm\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nehmen, was ich persönlich leichter finde. Aber in der Mathematik führen eben viele Wege nach Rom, also such dir den aus, den du für am leichtesten empfindest.

Viel Text und viele Informationen, aber ich hoffe, du verstehst jetzt, was dahinter steckt.

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