Entwicklungssatzes und Rekursionsformel für Determinante

30.11.2008, 12:30	hilflos	Auf diesen Beitrag antworten »
Entwicklungssatzes und Rekursionsformel für Determinante Gegeben sei Folgende Matrix, $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos \phi & 1\\ 1 & 2 cos \phi & 1 \\ & 1 &2 cos \phi & 1 \\ & & ...&...&...\\&&& 1 & 2cos \phi & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie mit Hilfe des Entwicklungssatzes die Rekursionsformel $\begin{eqnarray} detAn = 2 cos\phi \cdot detA_{n-1}-detA_{n-2}, n > 2. \end{eqnarray}$ Eigentlich hab ich gedacht, ich muss einfach nach der 1.Spalte entwickeln, dann komm ich auf: $\begin{eqnarray} cos \phi \cdot det (\begin{pmatrix} 2cos \phi & 1\\ 1 & 2 cos \phi & 1 \\ & 1 &2 cos \phi & 1 \\ & & ...&...&...\\&&& 1 & 2cos \phi & 1 \end{pmatrix}) -det (\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2 cos \phi & 1 \\ & 1 &2 cos \phi & 1 \\ & & ...&...&...\\&&& 1 & 2cos \phi & 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ was mir aber nichts bringt, da ich auch wenn ich weiter entwickle nie auf $\begin{eqnarray} 2 cos \cdot\phi \end{eqnarray}$ komme bzw das Element . $\begin{eqnarray} A_{1,1} = cos \phi \end{eqnarray}$ nicht mehr erhalte. Wie muss ich das machen bzw. wo liegt mein Fehler?
30.11.2008, 17:42	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Entwicklungssatzes und Rekursionsformel für Determinante Aber das ist doch trivial, zunächst mal hast Du die Matrix falsch aufgeschrieben, in Deiner Schreibweise hat sie n Zeilen und (n+1) Spalten -> schlecht. Sei also der erste betrachtbare Fall n = 5 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} & & & 0& 0 \\ & M_3 & & 0 & 0 \\ & & & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 cos\phi &1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 2 cos\phi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} det(M_5) \end{eqnarray}$ ist nach der letzten Spalte entwickelt $\begin{eqnarray} = 2 cos\phi det(M_4) + 1 (-1)^{5 + 4} det(M_3) \end{eqnarray}$ das Vorzeichen ist immer (-1)^(n + n - 1) also immer ein Minus. Jetzt kannst Du weitergehen und statt $\begin{eqnarray} M_3 \end{eqnarray}$ in die linke obere Ecke $\begin{eqnarray} M_4 \end{eqnarray}$ schreiben usw. usf. => da wird in der Formel für die Determinante von $\begin{eqnarray} M_6 \end{eqnarray}$ die 4 zur 5 und die 3 zur 4 ...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »