Banachscher Fixpunktsatz

30.11.2008, 14:12	Lenne	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz Moin! Ich sitz grad an folgender Aufgabe: "Wir suchen den Fixpunkt der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{a}\cdot\sin x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in [0,\pi] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\in \mathbb{R}, a\neq0 \end{eqnarray}$ . Fuer welche a sind die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfuellt? Beweisen Sie ihre Behauptungen." Nun ja, die Bedingungen sind laut unserm Skript, dass - $\begin{eqnarray} \emptyset \neq B \subset X \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist, - $\begin{eqnarray} f: B \rightarrow X \end{eqnarray}$ kontrahierend ist, und - $\begin{eqnarray} \forall x \in B : f(x)\in B \end{eqnarray}$ gilt. In der Aufgabe ist dann $\begin{eqnarray} B= [0,\pi] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X = \mathbb{R}\backslash\{0\} \end{eqnarray}$ . Die letzte Bedingung war kein Problem. Da hab ich die lokalen Minima und Maxima bestimmt (globale gibt's nicht) und rausgefunden, dass $\begin{eqnarray} a\geq \frac{1}{\pi} \end{eqnarray}$ gelten muss, damit das Maximum nicht groesser als Pi wird. Bei den anderen Bedingungen häng ich allerdings fest. Kontrahierend bedeutet, dass f Lipschitz-stetig mit L<1 ist, also: $\begin{eqnarray} \forall x\in B: \Vert f(x)-f(y) \vert \leq L \cdot \Vert x-y \Vert \end{eqnarray}$ . Naja, da kann ich nun nach L umstellen und meine konkrete Funktion einsetzen, aber dann hab ich einen Ausdruck mit $\begin{eqnarray} L \geq \dots \end{eqnarray}$ . Aber das bringt mich nun nicht wirklich weiter, weil ich ja bestimmen will, fuer welche a dieses L kleiner als 1 ist... Und zur ersten Bedingung, da haben wir eine fuer mich bisher merkwuerdige Definition im Skript: Eine Menge $\begin{eqnarray} B \subset X \end{eqnarray}$ heisst abgeschlossen, wenn aus $\begin{eqnarray} b_n \in B (n=1,2,\dots) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} b_n = x \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} x \in B \end{eqnarray}$ . Mir ist dabei nicht ganz klar, was diese $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ sein sollen.. Kann mir da jemand auf die Spruenge helfen, bevor ich mich da weiter selber verwirre?
30.11.2008, 14:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage Ist die Formulierung "den Fixpunkt" nicht etwas "leichtsinnig" getroffen? Einen gibt es wohl immer F1(0/0). Aber die Skizze lässt weitere erahnen.
30.11.2008, 14:23	Lenne	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass es dieses auf jeden Fall gibt, war mir klar, nachdem ich den Post abgeschickt hatte Aber so ist halt die Formulierung der Aufgabe, die hab ich ja nicht festgelegt; aber sicher ist das etwas schwammig...
30.11.2008, 14:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann würde ich das in der Antwort aber mal unterbringen. Konvergenz des BFS ist schön, aber auch wogegen wäre gut zu wissen. Da wir nun an "a drehen" können, ist der Schritt zur Selbstabbldung sicherlich mal das erste, was wir tun können. a darf nicht negativ sein, denn unser x-Intervall ist es ja positiv. mit dem Wissen über die Sinusfunktion wissen wir, dass wir mit a an der Amplitudenhöhe drehen können, die Länge bleibt gleich $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0 \leq \frac{1}{\alpha} \leq \pi \end{eqnarray}$ Weiter Überlegung ist (Anzahl der Fixpunkte): Wie muss man $\begin{eqnarray} \frac{1}{\alpha} \end{eqnarray}$ wählen, damit es nur den Fixpunkt (0/0) gibt?
30.11.2008, 17:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Steigung der Geraden ist offensichtlich 1, die Ableitung Funktion lautet: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{a}\cdot \cos(x) \end{eqnarray}$ Da wir im gleichen Punkt (0/0) starten, ist es nötig, dass die Steigung von f dort kleiner als 1 ist. $\begin{eqnarray} f'(0)=\frac{1}{a}\cdot \cos(0) \stackrel{!} \leq 1 \end{eqnarray}$ Das ergibt die Forderung: $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0 \leq \frac{1}{a} \leq 1 \end{eqnarray}$ In diesen Fällen liegt also nur 1 Fixpunkt vor. In den anderen haben wir dann zwei. Nun müssen wir diese untersuchen. Du wirst die Begriffe anziehend und abstoßend sicherlich schon einmal gehört haben. Was ist F1 (0/0) also für ein Fixpunkt? $\begin{eqnarray} \|f'(0)\|=\|\frac{1}{a}\cdot \cos(0)\| \begin{cases} <1 & \text{anziehend} \\ > 1 & \text{abstoßend} \end{cases} \end{eqnarray}$ Damit wissen wir also schon einmal, dass es eine Umgebung von 0 gibt, für die im ersten Falle das Iterationsverfahren gegen den Fipunkt konvergieren würde. Gilt es aber auch für alle x aus $\begin{eqnarray} [0,\pi] \end{eqnarray}$ , denn das war ja gefordert. Back to Banach: $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist ein Banachraum f ist eine Selbstabbildung, d.h. Im(f) \subseteq Def(f) $\begin{eqnarray} [0,\pi] \end{eqnarray}$ ist eine kompakte Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Das ist in beiden Fällen sichergestellt. Bleibt die entscheidende Frage nach der Kontraktion $\begin{eqnarray} \|\|f(x)-f(y)\|\| \leq \kappa \cdot \|\|x-y\|\| \quad x,y \in [0,\pi],~\kappa(0,1) \end{eqnarray}$
30.11.2008, 19:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Fallunterscheidung ist nun angesagt. a>1 Dann kann man das Max. der Ableitung als Kontraktionskonstante wählen: $\begin{eqnarray} \kappa=\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ a=1 Für die inneren Intervallpunkte ist die Ableitung kleiner als 1. Es ist $\begin{eqnarray} f(0)=0,~ f(\pi)=0 \end{eqnarray}$ , so dass wir diese Punkte als Startwerte nehmen können. Was ist nun, wenn der Startwert innerhalb des Intervalls liegt. Da es nicht "die kleinste Zahl vor der 1" gibt, kann man imho den "Kappa" Ansatz nicht verwenden. Dennoch sollte es imho möglich sein, die Konvergenz zu zeigen. $\begin{eqnarray} a \geq \frac{1}{\pi} \end{eqnarray}$ Hier ist der Fixpunkt nun abstoßend, da die Steigung der Funktion dort größer als 1 ist. Wie verhält es sich in letztem Fall mit dem zweiten Fixpunkt? Wieder läßt sich auf Grund der Ableitung von f kein kappa für das ganze Intervall angeben. Bleibt die Frage nach einem Teilintervall (Achtung, dann muss auch die Selbstabbildung wieder überprüft werden) Sieht also schlecht aus.
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30.11.2008, 21:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Lenne, du hast nun schon zig mal in den Thread geschaut. Aber eine Antwort deinerseits scheint er nicht Wert zu sein.

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