Exponentialfunktion lösen

30.11.2008, 15:53

niCon

Exponentialfunktion lösen

Hi alle zusammen,

also ich habe als Aufgabe exp(3-2i) und soll diese berechnen, gut ich habe angefangen sie umzuformen in exp(3) / exp(2i), da dies ja dank der potenzregeln möglich ist.

So allerdings hörts hier auch schon auf kann mir irgendwer bitte erklären wie genau ich so eine exp Funktion berechne, ich weiß gar nicht wie ich da anfangen soll.

MfG
niCon

30.11.2008, 15:57

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Denke mal an den guten Euler !
$\begin{eqnarray*} \exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Schreibe dazu lieber $\begin{eqnarray*} \exp(-2i) \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\exp(2i)} \end{eqnarray*}$ .

30.11.2008, 16:26

niCon

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das hat mir zwar nicht wirklich geholfen aber ich danke dir trotzdem für den Tipp.

kannst du mir denn vielleicht sagen wieweit ich n bei x^n/n! durchzählen muss ?
ich hab nämlich jetzt so angefangen exp(-2i) = 1+(-2i)+1/2(-2i)^2+1/6(-2i)^3+1/24(-2i)^4
wie weit muss ich denn jetzt noch weitergehen und woran erkenn ich das ?

MfG
niCon

30.11.2008, 17:11

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du denn?
Ich hab doch schon gesagt was du tun kannst. Beziehungsweise solltest du mal genauer sagen was du mit "berechnen" von $\begin{eqnarray*} \exp(3-2i) \end{eqnarray*}$ meinst. Das ist einfach eine komplexe Zahl und damit hat sichs.

Die Reihendefinition der Exponentialfunktion nutzt dir doch garnix und das was du da hin schreibst ist blödsinn:
Es ist nicht $\begin{eqnarray*} \exp(-2i)=1+(-2i)+1/2(-2i)^2+1/6(-2i)^3+1/24(-2i)^4 \end{eqnarray*}$ , denn es ist
$\begin{eqnarray*} \exp(-2i)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2i)^n}{n!} \end{eqnarray*}$ , nicht mehr und nicht weniger. Egal wo du aufhören willst zu summieren, du erhälst niemals $\begin{eqnarray*} \exp(-2i) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \exp(-2i) \end{eqnarray*}$ erhälst du erst als Grenzwert der Reihe.

Was ich vorher sagte:
$\begin{eqnarray*} \exp(3) \end{eqnarray*}$ ist einfach eine reelle Zahl, die man manchmal auch $\begin{eqnarray*} e^3 \end{eqnarray*}$ schreibt. Da weiss ich nicht wie man das weiter "berechnen" kann.
Was den Rest angeht:
$\begin{eqnarray*} \exp(-2i)=\cos(-2)+i\sin(-2) \end{eqnarray*}$ nach Euler.
Es folgt also
$\begin{eqnarray*} \exp(3-2i)=... \end{eqnarray*}$ ?

30.11.2008, 17:45

niCon

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja in der Aufgabe steht nur berechne exp(3-2i) also kann ich dir auch nicht mehr liefern und warum ist das:

$\begin{eqnarray*} \exp(-2i)=1+(-2i)+1/2(-2i)^2+1/6(-2i)^3+1/24(-2i)^4 \end{eqnarray*}$ denn falsch ?

die Aufgabe e(it)= 1+(it)+1/2(it)^2+1/6(it)^3+1/24(it)^4 ist doch so auch richtig und das hab ich einfach nur auf meine übertragen.

Zitat:

Was den Rest angeht: $\begin{eqnarray*} \exp(-2i)=\cos(-2)+i\sin(-2) \end{eqnarray*}$ nach Euler. Es folgt also $\begin{eqnarray*} \exp(3-2i)=... \end{eqnarray*}$ ?

Schön das du das nochmal reingeschrieben hast nur wie gesagt weiß ich mal absolut gar icht was ich damit anfangen soll.

30.11.2008, 18:29

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von niCon
warum ist das:

$\begin{eqnarray*} \exp(-2i)=1+(-2i)+1/2(-2i)^2+1/6(-2i)^3+1/24(-2i)^4 \end{eqnarray*}$ denn falsch ?

Wenn du mal die Taylorreihe der Exponentialfunktion ansiehst, dann stellst du fest dass es eine "unendliche Summe" ist. Das heisst auch, dass $\begin{eqnarray*} \exp(?) \end{eqnarray*}$ genau der Wert der Reihe [also der "unendlichen Summe"]
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{?^n}{n!} \end{eqnarray*}$ .
Das was du hingeschrieben hast ist aber nur eine endliche Summe, kann also insbesondere niemals genau $\begin{eqnarray*} \exp(-2i) \end{eqnarray*}$ sein.

Na schau mal:
$\begin{eqnarray*} \exp(3-2i)=\exp(3)\cdot\exp(-2i)=\exp(3)\cdot(\cos(-2)+i\sin(-2))=e^3\cdot\cos(-2)+i\cdot e^3\cdot\sin(-2) \end{eqnarray*}$
Damit ist es in einer "Standardform", und das solltest du vermutlich auch machen.

30.11.2008, 18:35

niCon

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Na schau mal: $\begin{eqnarray*} \exp(3-2i)=\exp(3)\cdot\exp(-2i)=\exp(3)\cdot(\cos(-2)+i\sin(-2))=e^3\cdot\cos(-2)+i\cdot e^3\cdot\sin(-2) \end{eqnarray*}$

Und das ist jetzt das Ergebnis der Aufgabe ?!
Ich habe gedacht das da halt am ende ne zahl rauskommen muss, dann berechnet man mit exp also gar nicht irgendeine Zahl seh ich das richtig ?

Ich hatte das Thema noch nie wie du jetzt sicher merken wirst, nur wird das leider anscheinend vorrausgesetzt.

Naja dann danke für deine Geduld und deine Hilfe !

MfG
niCon

30.11.2008, 18:42

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du eben mal verraten was du hattest und in welchem Rahmen so eine Frage kommt.

Also dann nochmal:
Das was heraus kommt ist doch eine Zahl, eben eine komplexe Zahl.
Genauer:
Man hat die Abbildung $\begin{eqnarray*} \exp:\mathbb C\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ . Man kann diese sogar über diese Reihe definieren, dann wäre also
$\begin{eqnarray*} z\mapsto\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} \end{eqnarray*}$
[es bleibt da noch vieles zu beweisen, aber lassen wir das].

Nun nimmt also die Funktion $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und schickt sie auf eine andere komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} \exp(z) \end{eqnarray*}$ . Ein Beispiel hast du ja oben.
Deshalb macht die Aufgabenstellung "Berechnen Sie..." keinen Sinn. Es ist alls getan. Eine sinnvolle Aufgabenstellung wäre gewesen "Bringen Sie die Zahl $\begin{eqnarray*} \exp(3-2i) \end{eqnarray*}$ auf die Form $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ " und genau das hast du bzw ich oben getan:
$\begin{eqnarray*} e^3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und genauso $\begin{eqnarray*} \cos(-2),\sin(-2)\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

30.11.2008, 18:52

niCon

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die erste Aufgabe die wir in soeiner Form hatten war beim Thema Relationen und Funktionen,
die Aufgabe hieß: Zeigen sie exp(i*t)=cos(t)+i*sin(t).

So und nun kam eben diese Aufgabe: Berechnen Sie exp(3-2i) mit Bezug auf die Aufgabe oben.

Ich sollte vielleicht noch erwähnen das ich eben an einer Fachhochschule bin, ich aber nicht das "Abi" habe sondern nur die Fachhochschulreife und da haben wir nichts in der Art mit exp gemacht, das wird aber anscheinend an der Schule vorrausgesetzt da der Prof weiter nicht dazu erklärt hat.

Naja ist ja eigentlich auch egal, ich glaube ich habe es jetzt ansatzweise verstanden vielen Dank nochmal.

MfG
niCon

30.11.2008, 18:57

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Na wenn du schon die in der Aufgabe vorher genau das beweisen solltest was ich dir auch als Tipp gegeben habe, dann müsstest du aber im Unterricht schon die ganze Theorie gelernt haben um das zu lösen.

Neue Frage »

Antworten »

Exponentialfunktion lösen

Verwandte Themen