Innere Punkte/Mengen

30.11.2008, 16:13

rewe

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Innere Punkte/Mengen

Entschuldigt bitte das fehlerhafte Latex.

Es sei V ein normierter R-Vektorraum.
Für $\begin{eqnarray*} M \subset V \end{eqnarray*}$ sei die Menge der inneren Punkte geklärt durch:

$\begin{eqnarray*} M^o := {x \in M: x ist innerer Punkt von M} \end{eqnarray*}$

Folgende Aussagen sind zu beweisen:

a.) Für alle Teilmengen $\begin{eqnarray*} M \subset V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$

b.) Ein Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subset V \end{eqnarray*}$ ist genau dann offen, wenn $\begin{eqnarray*} M^o=M \end{eqnarray*}$ gilt.

Muss man bei a.) also zeigen, dass die Menge aller inneren Punkte der Menge aller inneren Punkte M gleich der Menge aller inneren Punkte M ist?

Da x Element M ist weiß ich, dass es auch ein $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ geben muss, dass Element von M ist.
Aber kann mir jemand das Epsilon erklären? Das taucht ja öfters auf (auch bei Reihen/Folgen) aber was genau das ist, woher es kommt usw. weiß ich nicht.

30.11.2008, 23:02

mitchellbrown

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hey,

ja, das heisst es bei a, was du schon sagtest, du sollst die gleichheit beider mengen zeigen, also wie macht man das am besten?

zu deiner epsilon geschichte: also so wie du es da stehen hast, finde ich es komisch, sogar falsch.

wenn x elemtn von M ist und x auch ein innerer Punkt der Teilmenge M, dann bedeutet dies dass x eine epsilon umgebung besitzt, die vollständig in M liegt.
stelle dir am besten ein punkt mit einem ball aussen herum vor, der radius dieses balls ist dann dein epsilon, und wenn dieser ball vollständig in M liegt, ist x ein innerer punkt.

02.12.2008, 17:20

rewe

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Danke, so kann ich mir das mit dem Epsilon gut vorstellen. smile

smile

Für den Beweis von a.) müsste ich ja $\begin{eqnarray*} {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ irgendwie darstellen bzw. ausformulieren und dann die Gleichung beweisen.

Aber wie kann ich die beiden ausformulieren? Oder wird das anders gemacht?

02.12.2008, 17:28

tmo

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Die Gleichheit zweier Mengen beweist man so:

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \land B \subseteq A \Longrightarrow A=B \end{eqnarray*}$ .

Der eine Teil dieses Beweis ist in diesem Fall trivial. Beim andern musst du wie du schon gesagt hast zeigen, dass jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ ist.

bei der b) muss man erst klären wie genau ihr denn Offenheit in einem normierten Vektorraum definiert habt. Da gibt es ja verschiedene Möglichkeiten.

03.12.2008, 11:45

rewe

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Meintest du jetzt tatsächlich "zeigen, dass jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ ist."

oder doch, dass jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} (M^o)^o \end{eqnarray*}$ innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ ist?!

Dass A Teilmenge B ist, ist trivia, oder?

Der andere Teil wäre dann das oben genannte.

Zu b.)

" $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ heißt offen, falls jedes $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ innerer Punkt ist."

03.12.2008, 14:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von rewe
oder doch, dass jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} (M^o)^o \end{eqnarray*}$ innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ ist?!

Das ist doch nach Definition so.

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04.12.2008, 18:33

rewe

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Aber das gilt es ja zu beweisen, bzw., daß es für alle Teilmengen gilt.

Für alle Teilmengen $\begin{eqnarray*} M \subset V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$

Wie tmo schon gesagt hat, macht man das so:

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \land B \subseteq A \Longrightarrow A=B \end{eqnarray*}$ .

Also zuerst $\begin{eqnarray*} {(M^o)}^o \subseteq M^o \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} M^o \subseteq {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$

?

Aber wie formuliere ich diese beiden Mengen aus?
Ich kann doch hier doch nicht mit irgendwelchen Sätzen argumentieren, oder?

04.12.2008, 18:44

Soz.Päd.

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Guten Tag,

versuche doch mal zu formulieren:

Es sei x e (M°)°. Was gilt dann? Warum folgt dann x e M° ?

Dann dasselbe in die andere Richtung.

Gruß
Soz.Päd.

04.12.2008, 18:54

rewe

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Also, wenn $\begin{eqnarray*} x \in (M°)° \end{eqnarray*}$ , dann gibt es eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} (M°)° \end{eqnarray*}$ , die x enthält.

04.12.2008, 19:00

WebFritzi

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Ja, nämlich z.B. {x}. Das ist hier aber vollkommmen unwichtig. Das gilt für jede Menge, von der x ein Element ist. Du musst hier die Definition von ° anwenden.

04.12.2008, 19:04

Soz.Päd.

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Guten Tag,

um Missverständnissen vorzubeugen, schreibe ich mal die Definition so hin, wie ich sie kenne;

x ist genau dann ein Element der inneren Menge von M - ist also genau dann ein Element von M° -, wenn gilt:
Es ist x e M und es gibt ein (beliebiges) e > 0, so dass für alle x' mit
Betrag (x' - x) < e folgt: x' e M.

D.h.: Die innerer Menge M° ist in M enthalten und kann = M sein, hat aber auf alle Fälle keine Elemente, die nicht in M enthalten sind.
M° ist die "größte offene Menge", die in M enthalten ist.

Gruß
Soz.Päd.

04.12.2008, 19:13

rewe

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Also, $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$ enthalten und wenn $\begin{eqnarray*} x \in M^o \end{eqnarray*}$ ist, dann ist x auch $\begin{eqnarray*} \in {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$ .

04.12.2008, 19:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von rewe
Also, $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$ enthalten

Das sollst du zeigen! Dein "Also" kann ich nicht nachvollziehen.

04.12.2008, 19:30

Soz.Päd.

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Guten Tag,

Nein, M° ist in M enthalten, also wäre (M°)° in M° enthalten. Dies ist aber eine Folgerung der Definition und sollte zunächst nicht als Argumentation herangezogen werden. Ich denke, als Begründung sollte man mit der Definition genau arbeiten.

Also:
Es sei x e (M°)°. Dann ist x e M° und es gibt ein e > 0, so dass für alle x' mit
Betrag (x - x') < e gilt: x e M°.
(Laut Definition ist also auf jeden Fall x e M° und damit die eine Inklusion gezeigt.)

Nun formuliere analog: Es sei x e M°. Was musst du nun zeigen, dass auch
x e (M°)° gilt?

Gruß
Soz.Päd.

04.12.2008, 19:36

rewe

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Das sollte nur ein "Auftakt" sein und kein folgerndes "also". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann ist zu zeigen:

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} M^o \subset {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$

Beweis:

Dafür nehme ich jetzt ein $\begin{eqnarray*} x \in M^o \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss ich natürlich beweisen, dass x mit den Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} {(M^o)}^o \end{eqnarray*}$ liegt.
Aber da hänge ich natürlich wieder.

04.12.2008, 19:43

Soz.Päd.

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Guten Tag,

O.K,

Es sei x e M°. Laut Definition wäre ja dann auch x e (M°)°, wenn es ein
e > 0 gäbe, so dass alle für alle x' mit
Betrag (x' - x) < e folgt: x' e M°.
Ist das verständlich?
Wie könnte man begründen, dass es ein solches e gibt?

Gruß
Soz.Päd.

04.12.2008, 20:10

rewe

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Ja, das ist verständlich. smile

smile

Übrigens habe ich deinen vorletzten Beitrag nicht gelesen, da wir wohl zeitgleich geschreiben haben.

Aber das mit dem Epsilon...man kann doch nicht irgendein beliebiges Epsilon nehmen.

04.12.2008, 20:12

WebFritzi

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Man, du stellst dich aber auch ein bisschen an. Also x liegt in M°. Dann gibt es nach Definition von M° ein Epsilon > 0 mit welcher Eigenschaft?

04.12.2008, 20:18

rewe

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Mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} |x - x'| < \epsilon \end{eqnarray*}$

04.12.2008, 20:20

WebFritzi

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Das ist doch Blödsinn. Was ist hier denn schon wieder x' ? unglücklich

unglücklich

Ich habe dir gerade in dem anderen Thread gesagt, du sollst stets erklären, was deine Bezeichner zu bedeuten haben. Und schon wieder machst du genau das Gegenteil...

04.12.2008, 20:25

rewe

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Achso, ich hatte mich jetzt auf die Definition von Soz.Päd. bezogen; er hat x' verwendet.

04.12.2008, 20:31

WebFritzi

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Ich geb's auf...

04.12.2008, 21:09

Soz.Päd.

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Guten Tag,
wichtig ist, dass ein solches e > 0 existiert, in welcher Größe, darüber wird keine Aussage gemacht.

Wichtig ist, was die Definition meint:
Es ist x e M° genau dann, wenn x e M und es irgendein e > 0 gibt, so dass für alle (ohne Ausnahme !) x' mit
Betrag (x' - x) < e folgt: x' e M.

Kann man nun (wenn ja, wie?) daraus folgern, dass es, da zu jedem x e M° ein solches e >0 mit obiger Eigenschaft exitiert, dazu auch ein e2 > 0 geben muss, so dass für alle (ohne Ausnahme) x' mit
Betrag (x' - x) < e2 folgt: x' e M°?

Beachte zur Begründung meinen vorherigen Beitrag.

Gruß
Soz.Päd.

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