Teilmenge, konvergenz, fast sicher

31.08.2006, 00:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmenge, konvergenz, fast sicher Ich kann hier irgendwie die Teilmengenbeziehung nicht richtig sehen. Das liegt wohl auch daran das ich die Menge nicht richtig verstehe. Folgendes wird in einem Beweis benutzt Seien $\begin{eqnarray} X_n, X \end{eqnarray}$ reelle Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray} X_n \to X \end{eqnarray}$ fast sicher dann soll $\begin{eqnarray} \bigcap_{n=1}^{\infty}\{{}^{sup}_{k \geq n} \|X_k - X\| \geq \epsilon\} \subset \{X_n \to X\}^c \end{eqnarray}$ für epsilon > 0 sein. Mit {}^c wird hier das Komplement bezeichnet. Die Frage ist: Wie sieht denn jetzt die Menge $\begin{eqnarray} \{X_n \to X\}^c \end{eqnarray}$ aus? Den Rest vom Beweis versteh ich nur dieser Schritt ist mir unheimlich.
31.08.2006, 08:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreiben wir's erstmal ausführlicher, es geht hier ja um Ereignisse, also teilmengen des Grundraumes $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left\{ \omega: \; \sup\limits_{k\geq n} \|X_k(\omega) - X(\omega) \| \geq \varepsilon \right\} \subset \left\{ \omega: \; X_n(\omega) \to X(\omega) \right\}^c \end{eqnarray}$ So, jetzt schauen wir uns mal ein $\begin{eqnarray} \omega^ \end{eqnarray}$ aus der linken Menge an. Das ist im Durchschnitt enthalten, also auch in jeder der am Durchschnitt beteiligten Mengen. Somit ist $\begin{eqnarray} \sup\limits_{k\geq n} \|X_k(\omega^) - X(\omega^)\| \geq \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ . Damit findet man eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (n_j)_{j=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|X_{n_j}(\omega^) - X(\omega^)\| \geq \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ Somit gilt für die Teilfolge nicht* $\begin{eqnarray} X_{n_j}(\omega^)\to X(\omega^) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j\to\infty \end{eqnarray}$ , und somit auch nicht $\begin{eqnarray} X_n(\omega^)\to X(\omega^) \end{eqnarray}$ für die gesamte reelle Zahlenfolge. Und das ist es, was rechts steht.
31.08.2006, 10:00	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, und da jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen den selben Grenzwert konvergiert, und $\begin{eqnarray} \|X_{n_j}(\omega^) - X(\omega^)\| \geq \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ gilt, konvergiert natürlich $\begin{eqnarray} X_k(w^) \end{eqnarray}$ nicht gegen $\begin{eqnarray} X(w^) \end{eqnarray}$ Und da der Raum $\begin{eqnarray} \{ X_k \to X \} \end{eqnarray}$ mehr Elemente enthällt als das Supremum gilt auch die echte Teilmenge. Danke
31.08.2006, 11:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Ergänzung: In der Gegenrichtung kann man aus $\begin{eqnarray} \omega^ \in \left\{ X_n \to X \right\}^c \end{eqnarray}$ höchstens folgern, dass es ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} \omega^* \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left\{\sup\limits_{k\geq n} \|X_k-X\| \geq \varepsilon \right\} \end{eqnarray}$ . Dieses $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ darf also von $\begin{eqnarray} \omega^* \end{eqnarray}$ abhängen, weshalb oben i.a. keine Gleichheit gilt, und zwar für kein $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
31.08.2006, 11:24	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist dann wohl auch die Begründung warum stochastische Konvergenz schwächer alsfast sichere Konvergenz ist. Darum ging es ja in dem Satz.
31.08.2006, 12:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es.
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