Aufgabe vom Abitur 2005 / Hausaufgabe zur e-Funktion

30.11.2008, 18:25

datura

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Aufgabe vom Abitur 2005 / Hausaufgabe zur e-Funktion

Hey,

bis vor kurzem ging's mir noch blendend in Mathe, aber dann kam die Analysis wieder und - am schlimmsten - die e-Funktion, an der ich immer wieder scheitere.

Daher habe ich einige Fragen zu meiner Aufgabe. Ich wäre euch sehr dankbar für jede Hilfe. Freude

Freude

Also, Aufgabe:
Durch einen im dritten Quadranten liegenden Punkt R des Graphen G von $\begin{eqnarray*} f(x)=2*x*e^{1+x} \end{eqnarray*}$ verlaufe eine Parallele zur y-Achse. Ihr Schnittpunkt mit der x-Achse sei P, der Koordinatenursprung sei O.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes R so, dass das Dreieck OPR einen maximalen Flächeninhalt annimmt.

Meine ersten Überlegungen...
Hab mir erstmal überlegt, wie die Punkte lauten müssen:
O ( 0 | 0 )
P ( 0 | y ) (Gilt hierbei dann g(x) = y, wenn die Gerade parallel zur y-Achse sein soll?)
R völlig ratlos...

Müsste R nicht einfach der Tiefpunkt sein?

Zwei weitere Aufgaben habe ich auch noch, aber erstmal bin ich glücklich, wenn die geschafft ist. traurig

traurig

Anmerkung: Der Exponent von e ist 1+x, sieht komisch aus in der Formel.

30.11.2008, 18:35

vektorraum

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RE: Aufgabe vom Abitur 2005 / Hausaufgabe zur e-Funktion
Hallo.

Du musst die Einträge des Exponenten in geschweifte Klammern setzen. Ich werde das gleich mal ändern.

Klar ist, dass O(0,0) ist. Der Punkt R soll auf dem Graphen der Funktion f liegen. Das heißt seine Koordinaten kannst du explizit angeben.

Jede Parallele zur y-Achse hat die Gestalt $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ist es die y-Achse.

Wenn wir also sagen, dass $\begin{eqnarray*} P(a,0) \end{eqnarray*}$ ist, wie muss dann $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ lauten???

30.11.2008, 18:38

datura

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Ganz so schnell bin ich nicht. unglücklich

unglücklich

R müsste ja denselben y-Wert wie P aufweisen, also 0, oder?
Und x würde ich dann mittels f(x) ausdrücken... Denke ich.

Stimmt das so weit?

30.11.2008, 18:40

vektorraum

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Der Schnittpunkt der Parallelen mit der x-Achse ist doch P. Also kann dort doch nur der y-Wert Null sein. Damit sind die Koordinaten von P begründet.

R hat nicht den gleichen y-Wert wie P, sondern den gleichen x-Wert (liegen auf einer Geraden).

30.11.2008, 18:42

datura

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Okay, also O(0,0), P(a,0) und R(a,f(x))?

30.11.2008, 18:43

vektorraum

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Zitat:

Original von datura
Okay, also O(0,0), P(a,0) und R(a,f(x))?

R(a,f(a))!!!

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30.11.2008, 18:45

datura

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Achso, ja, klingt logisch.

Nur woher weiß ich nun, wann es maximal ist?
R müsste ja eigentlich ein Tiefpunkt sein, oder? Oder zumindest ein WP?

30.11.2008, 18:47

vektorraum

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Das ganze klingt doch ziemlich nach einer Extremwertaufgabe...

Gehe folgende Punkte durch:

1. Was soll maximiert werden /Was soll maximal werden?

2. Zielfunktion aufstellen.

3. Extremwerte bestimmen.

30.11.2008, 19:11

datura

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Also, der Flächeninhalt für ein Dreieck ist ja $\begin{eqnarray*} A=1/2a*ha \end{eqnarray*}$ .
h wäre ja dann das Stückchen zwischen P und R, oder?

30.11.2008, 19:14

vektorraum

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Ja, ich würde aber lieber schreiben

$\begin{eqnarray*} A=\cfrac{1}{2}\cdot |a\cdot h_a| \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ja negativ sein kann. Und Längen sind nunmal positiv. Deshalb der Betrag.

Ja, aber sonst stimmt das schon.

30.11.2008, 19:16

datura

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Gut, wenn h dann wirklich das Stück dazwischen ist, dürfte ich das hinkriegen...

Stell ich die Zielfunktion jetzt mittels der gegebenen Funktionsgleichung f(x) auf, das dann f(a) wird? verwirrt

verwirrt

30.11.2008, 19:17

vektorraum

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Ja natürlich.

30.11.2008, 19:21

datura

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$\begin{eqnarray*} f(a)=2a*e^{1+a} \end{eqnarray*}$
Einen Tiefpunkt hab ich schon von der Aufgabe davor - der lautet T(-1,-2).

Jetzt komm ich aber schon wieder nicht weiter, wir haben noch nichts in der Art gemacht im Unterricht. unglücklich

unglücklich

30.11.2008, 19:22

vektorraum

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Deine zu maximierende Größe hast du nun schon hingeschrieben. Jetzt musst du nur noch einsetzen. Was ist denn die Höhe?

Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} A=... \end{eqnarray*}$

Der ursprüngliche Tiefpunkt der Funktion hat damit erstmal gar nichts zu tun.

30.11.2008, 19:26

datura

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Na ja, die Höhe ist der Abstand zwischen P und R, also $\begin{eqnarray*} g(a)=a \end{eqnarray*}$ weil die y-Achse ja y=a war.

$\begin{eqnarray*} A=1/2a*a \end{eqnarray*}$ vielleicht?

30.11.2008, 19:27

datura

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x=a meinte ich, Pardon.

30.11.2008, 19:29

vektorraum

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Benutze bitte das nächste Mal die Editierfunktion des Boards.

Nein, deine Lösung ist falsch.

Wie berechnet man denn den Abstand zweier Punkte?

30.11.2008, 19:34

datura

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Ich denke gerade an Vektoren, aber das geht wohl kaum.

Durch einen Wendepunkt oder irgendeinen Extrempunkt vielleicht?

30.11.2008, 19:38

vektorraum

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Tipp: Formelsammlung.

Der Abstand zweier Punkte $\begin{eqnarray*} P(x_1,y_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$ berechnet sich zu

$\begin{eqnarray*} |\overline{PQ}|=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2} \end{eqnarray*}$

30.11.2008, 19:42

datura

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Dann müsste $\begin{eqnarray*} A=1/2a*f(a) \end{eqnarray*}$ die Zielfunktion sein, also $\begin{eqnarray*} A=1/2a*2a*e^{1+a} \end{eqnarray*}$ .

30.11.2008, 19:43

vektorraum

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Freude

30.11.2008, 19:45

datura

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Okay... das ist schon mal gut. smile

smile

Muss ich nun die ersten beiden Ableitungen bilden und nach Extrempunkten suchen?

30.11.2008, 19:47

vektorraum

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Zitat:

Original von vektorraum
Das ganze klingt doch ziemlich nach einer Extremwertaufgabe...

Gehe folgende Punkte durch:

1. Was soll maximiert werden /Was soll maximal werden? Erledigt!

2. Zielfunktion aufstellen. Erledigt!

3. Extremwerte bestimmen.

30.11.2008, 19:51

datura

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Ja, fiel mir auch wieder ein gerade. Hammer

Hammer

Ich liste mal auf...

$\begin{eqnarray*} A'(a)=e^{1+a}+e^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A''(a)=a*e^{1+a}*e^1+e^1 \end{eqnarray*}$

Stimmen die Ableitungen so?

30.11.2008, 19:53

vektorraum

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Wir haben doch

$\begin{eqnarray*} A(a)=a^2\cdot e^{1+a} \end{eqnarray*}$

Und nun nutze die Produktregel!!!

Deine Ableitungen sind beide falsch.

30.11.2008, 19:59

datura

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$\begin{eqnarray*} A'(a)=2a+e^{1+a}*e \end{eqnarray*}$ ?

30.11.2008, 20:00

vektorraum

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Wo kommt denn das e vor??? Ich erkenne hier keine Produktregel. Wie lautet die Produktregel und was sind deine beiden Faktoren?

30.11.2008, 20:03

datura

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Produktregel ist doch u'v+v'u... Und für die Ableitung von e-Funktionen muss man doch immer die Kettenregel anwenden, dachte ich. unglücklich

unglücklich

Die beiden Faktoren sind jedenfalls 2a sowie e^(1+a).

30.11.2008, 20:05

vektorraum

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Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{1+a} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} u=a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=e^{1+a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=\ldots \end{eqnarray*}$

v musst du mit der Kettenregel ableiten: Ableitung der inneren mal Ableitung der äußeren Funktion.

30.11.2008, 20:09

datura

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Ja, so meinte ich das auch... Mh, ich versuch's nochmal:

$\begin{eqnarray*} A'(a)=2a*e^{1+a}+1e^1*a² \end{eqnarray*}$

Wenn die nicht stimmt, weiß ich auch nicht mehr weiter. unglücklich

unglücklich

30.11.2008, 20:14

vektorraum

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Wir machen hier eine Baustelle nach der anderen auf. Anscheinend kannst du die Kettenregel nicht: Verbal formuliert habe ich diese ja schon weiter oben.

Speziell bei der e-Funktion kannst du dir merken:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{g(x)}~\Rightarrow~f'(x)=g'(x)\cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Damit solltest du deine Ableitung jetzt hinbekommen.

30.11.2008, 20:15

datura

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$\begin{eqnarray*} A'(a)=2a*e^{1+a}+e^{1+a}*a² \end{eqnarray*}$

30.11.2008, 20:16

vektorraum

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Richtig!

30.11.2008, 20:20

datura

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Schwere Geburt... Hammer

Hammer

Na ja, die nun 0 setzen.

$\begin{eqnarray*} 0=2a*e^{1+a}+e^{1+a}*a² \end{eqnarray*}$

Gilt dann, wenn a=0 oder a=-1.

In zweite Ableitung einsetzen.
Also, zweite Ableitung ist erstmal:
$\begin{eqnarray*} A''(a)=2*e^{1+a}+2a*e^{1+a} \end{eqnarray*}$

Falls die stimmt, muss ich 0 und -1 in die zweite Ableitung für a einsetzen.

30.11.2008, 20:22

vektorraum

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Zitat:

Original von datura
$\begin{eqnarray*} 0=2a*e^{1+a}+e^{1+a}*a² \end{eqnarray*}$

Gilt dann, wenn a=0 oder a=-1.

Woher hast du denn das?

30.11.2008, 20:24

datura

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Hoppla, hab das Plus dazwischen vergessen...

Also, bei a=0 stimmt's auf jeden Fall, oder? Würde dann denken, dass es wirklich nur dann 0 wird.

30.11.2008, 20:27

vektorraum

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Das ist aber nur eine Lösung...

Tipp: Ausklammern!

30.11.2008, 20:29

datura

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Ehrlich gesagt kann ich das nicht...

30.11.2008, 20:32

vektorraum

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Du musst doch nur hier einmal ausklammern. Das ist Stoff aus der achten Klasse. Welcehr Ausdruck kommt denn in beiden Summanden vor? Diesen klammerst du dann aus, wie z.B. hier:

$\begin{eqnarray*} ab^2+ac=a(b^2+c) \end{eqnarray*}$ .

Wende das nun an auf:

$\begin{eqnarray*} A'(a)=2a*e^{1+a}+e^{1+a}*a² \end{eqnarray*}$

30.11.2008, 20:35

datura

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$\begin{eqnarray*} A'(a)=a*e^{1+a}*(2+a) \end{eqnarray*}$

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