Komplexe Lösungen

30.11.2008, 20:02

Patti85

Komplexe Lösungen

ich soll die komplexen Lösungen von

a) z^4+\sqrt{3} *z^2+1=0

b) z^n-1=0

berechnen und Eulersche Darstellung verwenden wie macht man das ?

30.11.2008, 22:28

Raumpfleger

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RE: Komplexe Lösungen
a) z^2 = w setzen, auf die quadrat. Glg. in w die Lösungsformel anwenden, zurücksubstituieren.

b) sucht eine Wurzel auf dem Einheitskreis, dazu wäre dann $\begin{eqnarray*} z = exp(I \phi), z^n = exp(n I \phi) \end{eqnarray*}$ , welche $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gibt es, dass $\begin{eqnarray*} z^n = 1 = exp(2 \pi I) \end{eqnarray*}$ wird?

01.12.2008, 00:31

mYthos

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Beachte noch, dass gilt

$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} = e^{i (\varphi + 2k \pi)} \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

EDIT: Klammer eingefügt.

mY+

01.12.2008, 00:36

kiste

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Zitat:

Original von mYthos
Beachte noch, dass gilt

$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} = e^{i \varphi + 2k \pi} \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Nö

01.12.2008, 17:14

Patt19i85

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also dann könnt ich a)

nachdem z^4=x^2 und z^2=x ist

als Quadratische Gleichung schreiben...

x^{2} + \sqrt{3} * x +1 =0

dann mit Pq Formel Nullstellen berechnen ??? da würde kein Ergebnis rauskommen...

muss ich das dann in eulerform schreiben oder wie?

01.12.2008, 19:34

mYthos

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Zitat:

Original von kiste

Zitat:

Original von mYthos
Beachte noch, dass gilt

$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} = e^{i \varphi + 2k \pi} \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Nö

Sorry, da habe ich eine Klammer vergessen, danke. Also richtig muss es heissen:

$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} = e^{i (\varphi + 2k \pi)} \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
____________________________

Zitat:

Original von Patt19i85
also dann könnt ich a)

nachdem z^4=x^2 und z^2=x ist

als Quadratische Gleichung schreiben...

x^{2} + \sqrt{3} * x +1 =0

dann mit Pq Formel Nullstellen berechnen ??? da würde kein Ergebnis rauskommen...
...

Was meinst du mit "kein Ergebnis", kein reelles? Es liegt hier in der Natur der Aufgabe, dass es auch komplexe Lösungen geben kann, solche sind ja hier auch Lösungen.

Eine der x-Lösungen lautet $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt3}{2} + \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$ , daraus musst du nun die Quadratwurzel berechnen, dabei gibt es zwei z-Lösungen, aus der anderen x-Lösung folgen nochmals zwei z-Lösungen, also haben wir dann insgesamt alle 4 gesuchten Lösungen für z.

mY+

01.12.2008, 22:48

Patti85

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Zitat:

Eine der x-Lösungen lautet $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt3}{2} + \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

das versteh ich ja [latex]-\frac{\sqrt3}{2} so und warum schreibt man dann i/2

Immaginärteil ok aber die wurzel das quadrat und -1 lässt man da wech ja...

wurzel aus x1 wär dann +z1 und -z2
wurzel aus x2 wär dann +z3 und -z4

ist das richtig?
das würde mir einleuchten aber wie schreibt man das...

mfg

02.12.2008, 00:00

mYthos

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... da wird nichts weggelassen, 1/2 als Imaginärteil muss schon bleiben. Von diesem x muss folgend die Quadratwurzel berechnet werden, das ist wiederum eine komplexe Zahl. Es stimmt natürlich, dass sich dann die beiden ersten Lösungen nur durch das Vorzeichen unterscheiden.

mY+

05.12.2008, 17:37

Ottoo

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muss das thema nochmal aufgreifen, da ich irgendwie noch immer nicht verstanden habe wie das funktioniert...

ich habe erstmal die recht einfache gleichung $\begin{eqnarray*} z^3=1 \end{eqnarray*}$ und möchte das mit der Polardarstellung lösen...

also muss ich
$\begin{eqnarray*} 1=\exp{2\pi*3*\i} \end{eqnarray*}$
setzen und gucken was rauskommt? funktioniert aber irgendwie nicht?! oder kann ich sagen, wenn ich z^3 habe muss ich den einheitskreis in 3 gleichgroße teile teilen? aber wie kann ich das dann mathematisch beweisen??

05.12.2008, 23:27

mYthos

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Von Klammern hältst du wohl nicht viel ...
Wenn schon, so gilt zunächst die Identität

$\begin{eqnarray*} 1 = exp(2k \pi \cdot i) \end{eqnarray*}$
oder besser

$\begin{eqnarray*} 1 = e^{(0 + 2 \pi \cdot k)i} \ \text{mit} \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

nun lautet die Gleichung
$\begin{eqnarray*} z^3 = e^{(0 + 2 \pi \cdot k)i} \end{eqnarray*}$

jetzt dividieren wir den Exponenten durch 3 und variieren k = 0, 1, 2

$\begin{eqnarray*} z_{1,2,3} = e^{\frac{0 + 2 \pi \cdot k}{3}i} \end{eqnarray*}$

Dabei ist der Grund ersichtlich, warum der Kreis in drei gleiche Winkel geteilt wird. Diese Art von Gleichungen, in denen alle n-ten Wurzeln zu bestimmen sind, heissen deswegen auch Kreisteilungsgleichungen vom Grad n.

mY+

06.12.2008, 13:13

Ottoo

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Hi mY+
sorry erstmal, bin des Latex's noch nicht so mächtig und konnte leider meinen Post nicht editieren ;-) Bin aber fleißig am lernen smile

Aber vielen Dank! Habs jetzt endlich verstanden warum ich auch das k mit reinbringen muss...

Ottoo

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