Nullstellen

30.11.2008, 20:23

gartenzwerg

Nullstellen

Hi, da an meinem Thema "Monotonieuntersuchung" scheinbar niemand interesse hatte *schnüff* frag ich ma etwas anders.

Der Grad einer Funktion weist doch auch auf die Anzahl der Nullstellen hin.
Hab jetzt eine Funktion 3. Grades ( $\begin{eqnarray*} f(x) = x³+8 \end{eqnarray*}$

Diese müsste eigentlich doch nun 3 Nullstellen besitzen, nach Zeichung des Graphen find ich jedoch nur -2 als Nullstelle.

Was nun?

30.11.2008, 22:07

klarsoweit

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RE: Nullstellen
Wieso muß die 3 Nullstellen haben? verwirrt

Sie könnte maximal 3 Nullstellen haben, hat sie aber nicht. smile

30.11.2008, 22:10

Airblader

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RE: Nullstellen

Zitat:

Original von gartenzwerg
Diese müsste eigentlich doch nun 3 Nullstellen besitzen

Über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ schon, aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, wie klarsoweit sagte, die Regel: "Sie hat maximal 3 Nullstellen".

air

30.11.2008, 22:12

ich-bins

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RE: Nullstellen
Falsch.

der Funktionsgrad weist nur auf die maximale. Anzakl von Nullstellen hin.
Die allgemeine Form der kubischen Gleichung in Polynomschreibweise ist
$\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x-x_{2})\cdot(x-x_{3}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a\neq0 \end{eqnarray*}$
Sie kann also nur in max. 3 Polynome aufgeteilt werden. Jedes Polynom steht für eine Nullstelle. Aber wie du (richtig) gesagt hast : es gibt für deine Funktion nur eine. Warum?

Schreibe deine Funktion mal in Polynomschreibweise. Du erhältst ein Produkt aus einem linearen und quadratischen Term. Wann wird ein Produkt "Null"?
Bei deinem Bsp. hast du die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_{1}=-2 \end{eqnarray*}$ gegeben, also berechne mal $\begin{eqnarray*} (x^{3}+8) / (x+2) \end{eqnarray*}$ . Du erhältst ( $\begin{eqnarray*} x^{2}+4 \end{eqnarray*}$ ). Wenn du versuchst diesen Term "Null" zu setzen, wird dir das nicht gelingen. Es gibt keine Lösung für $\begin{eqnarray*} f(x)=0=x^{2}+4 \end{eqnarray*}$ und somit auch rechnerisch nur eine Nullstelle für $\begin{eqnarray*} f(x)=0=(x+2) \end{eqnarray*}$

Noch etwas gilt: ist der größte Grad der Funktion ungerade, gibt es mindestens eine Nullstelle.

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