Abstandsbestimmung (Vektoren) im R^5.

30.11.2008, 21:33	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstandsbestimmung (Vektoren) im R^5. Guten 1. Advent, meine Höhere Mathematik 1 Klausur steht vor der Tür und ich habe zu 2 Teilthemen noch meine Problemchen. 1. Abstandsbestimmung im R^5: Mein Prof hatte für die Klausurvorbereitung nur mal anmerken lassen, dass es sich wohlmöglich um Geraden handeln wird... In Betracht kommt also neben Gerade-Gerade, durchaus auch Gerade-Ebene und Gerade-Punkt. Primär denke ich Gerade-Gerade. Mein Problem ist aber, dass ich nicht weiß wie man daran gehen sollte, vor allem weil weder das Vektorprodukt noch das Skalarprodukt im R5 definiert ist? Geht das evtll. über eine orthogonale Projektion, oder liege ich damit auch falsch? Vielen Dank und einen schönen Sonntag noch! Dangelo
30.11.2008, 21:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dasselbe Problem hatte heute schon mal jemand: Entfernung im R5
30.11.2008, 21:59	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.. habe mir das gerade mal aufmerksam durchgelesen und festgestellt, dass ich bis jetzt nur bahnhof verstehe. Ich bräuchte irgendwie nen Ansatz bzw. nen Denkanstoß. Danke
30.11.2008, 22:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man zwei Geraden $\begin{eqnarray} g,h \end{eqnarray}$ mit linear unabhängigen Richtungsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray}$ hat: $\begin{eqnarray} g: \ \ \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{u} \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h: \ \ \vec{x} = \vec{b} + \mu \vec{v} \, , \ \ \mu \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ so gibt es ein Paar $\begin{eqnarray} (\lambda,\mu) \end{eqnarray}$ , so daß die zugehörigen Punkte minimalen Abstand haben. Ihr Verbindungsvektor ist dann orthogonal sowohl zu $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ als auch zu $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ . Es gelten daher die zwei Gleichungen (der Punkt bezeichne das Skalarprodukt): $\begin{eqnarray} \left( \vec{b} - \vec{a} + \mu \vec{v} - \lambda \vec{u} \right) \cdot \vec{u} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left( \vec{b} - \vec{a} + \mu \vec{v} - \lambda \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = 0 \end{eqnarray}$ Sie bestimmen ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten $\begin{eqnarray} \lambda, \mu \end{eqnarray}$ . Seine Lösung führt zu den Punkten mit minimalem Abstand. Ob sich das alles im dreidimensionalen, fünfdimensionalen oder dreihundertfünfundsechzigdimensionalen Raum abspielt, ist unerheblich. Das (Standard-)Skalarprodukt ist immer definiert.
30.11.2008, 23:35	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
wow, danke für deine hilfe. Kam buchstäblich in letzter Minute. Denke, dass ich jetzt einigermaßen gut vorbereiten bin. Vielen Dank auf jedenfall. Eine Sache evtll. noch: $\begin{eqnarray} d = \frac{\mid \vec{AB} \cdot ( \vec{u} \times \vec{v} ) \mid}{\vec{u} \times \vec{v}} \end{eqnarray}$ Wir haben diese Formel benutzt, um Abstände zwischen zwei Geraden zu bestimmen. Man kann es wegen dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvekoktoren nicht so einfach benutzen. Wie wäre es aber, wenn man das Kreuzprodukt bzw. den Normalenvektor der beiden Richtungsvektoren über das Skalarprodukt bzw. einen LGS ausrechnet? In etwa: $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 , \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \end{eqnarray}$ .. in einer Nebenrechnung... Wäre das prinzipiell richtig? Danke.

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