| 01.12.2008, 05:57 |
Bjoern1982 |
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Kubisches Interpolationspolynom
Hallo,
die Aufgabe lautet dass man das kubische Interpolationspolynom zu den Daten (k,f(k+1)) mit f(k+1)=k! für k=1,2,3,4 an der Stelle a=2,5 auswerten und mit dem Wert f(3,5)~ 3,3234 vergleichen soll.
Da steht ja jetzt nichts davon mit welcher Interpolationsformel man arbeiten soll...
Kann man sich dann was aussuchen oder was wäre hier zu empfehlen ?
Gruß Björn |
| 01.12.2008, 12:12 |
tigerbine |
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RE: Kubisches Interpolationspolynom
Hallo Bjoern.
Das IP ist ja eindeutig. Kannste wohl berechnen wie du magst. Etwas seltsam ist, dass man k den Wert f(k+1) gegenüberstellen soll... 
Habt ihr da gesagt bekommen warum?
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Es wird ein Interpolationspolynom in 3 Darstellungen berechnet.
Beachte: Der Datensatz hat die Form
Knoten: x_0,...,x_n
Funktionswerte: y_0,...,y_n
Bitte die Daten homogen eingeben!
Knotenpunkte eingeben: [1,2,3,4]
Funktionswerte eingeben: [1,2,6,24]
--------------------------------------------------------------------------------------------
Lagrange-Darstellung
===============================================================================================
[x - 2] [x - 3] [x - 4]
y_ 0 * L_ 0(x) = 1 * -------------------------------------------------------------------
[1 - 2] [1 - 3] [1 - 4]
1
= ----------- * [x - 2] [x - 3] [x - 4]
-6
[x - 1] [x - 3] [x - 4]
y_ 1 * L_ 1(x) = 2 * -------------------------------------------------------------------
[2 - 1] [2 - 3] [2 - 4]
2
= ----------- * [x - 1] [x - 3] [x - 4]
2
[x - 1] [x - 2] [x - 4]
y_ 2 * L_ 2(x) = 6 * -------------------------------------------------------------------
[3 - 1] [3 - 2] [3 - 4]
6
= ----------- * [x - 1] [x - 2] [x - 4]
-2
[x - 1] [x - 2] [x - 3]
y_ 3 * L_ 3(x) = 24 * -------------------------------------------------------------------
[4 - 1] [4 - 2] [4 - 3]
24
= ----------- * [x - 1] [x - 2] [x - 3]
6
Weiter mit beliebiger Taste
Newton-Darstellung
===============================================================================================
Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
DD =
1.0000 1.0000 1.0000 1.5000 1.8333
2.0000 2.0000 4.0000 7.0000 0
3.0000 6.0000 18.0000 0 0
4.0000 24.0000 0 0 0
Interpolationspolynom
---------------------
p_ 3(x)=
+ 1
+ 1 * [x - 1]
+ 1.5 * [x - 1] [x - 2]
+ 1.83333 * [x - 1] [x - 2] [x - 3]
Weiter mit beliebiger Taste
Monom-Darstellung
===============================================================================================
p_ 3(x)=
- 8 * x^0 + 16.6667 * x^1 - 9.5 * x^2 + 1.83333 * x^3
p^(0)_3(2.5)= 2.9375
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[attach]9291[/attach] |
| 03.12.2008, 05:37 |
Bjoern1982 |
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Hallo bine,
Die Frage mit der Gegenüberstellung des Wertes f(k+1) wird wohl auf die Abschätzung der Gammafunktion hinauslaufen, da ich zufällig auf diese Seite gestoßen bin:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in.../interaufg1124/
Da hier quasi dieselbe interaktive Aufgabe steht und das auch mit dem Aitken-Neville Schema gemacht werden sollte und in meinem Skript auch die Bemerkung steht dass wenn man den Wert eines IP an nur EINER Stelle (hier k=2,5) benötigt, man mit Aitken-Neville diesen Wert effizient berechnen kann, habe ich das zusätzlich auch mal damit getestet und bin ebenfalls auf den Wert 2,9375 gekommen. |
| 03.12.2008, 10:59 |
tigerbine |
Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Rückmeldung. Kannst du mir sagen, warum Aitken-Neville von Vorteil sein soll, wenn es "genau" um einen Wert geht. Also im Vergleich zu Neville.
Da es wohl nur auf den Wert ankam, kann man mit dem Schema gleich den Wert ausrechnen, ohne das Polynom "zu kennen", wo man dann ja zusätzlich noch den Aufwand des Auswertens hat.
Ein weitere Vorteil, aber auch generell der von der Newton-Darstellung ist, dass du bei Hinzunahme weiterer Werte auf deine alten Berechnungen zurückgreifen kannst und nicht wieder komplett von vorne anfangen musst.
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Neville Schema - Funktionswerte bei 2.5
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NW =
1.0000 1.0000 2.5000 3.6250 2.9375
2.0000 2.0000 4.0000 2.2500 0
3.0000 6.0000 -3.0000 0 0
4.0000 24.0000 0 0 0
Weiter mit beliebiger Taste
Neville Schema - Polynomeinträge
==================================
Spalte 0
-----------
p_ 0, 0(x)=
+ 1 * x^0
p_ 1, 0(x)=
+ 2 * x^0
p_ 2, 0(x)=
+ 6 * x^0
p_ 3, 0(x)=
+ 24 * x^0
Weiter mit beliebiger Taste
Spalte 1
-----------
p_ 0, 1(x)=
+ 0 * x^0 + 1 * x^1
p_ 1, 1(x)=
- 6 * x^0 + 4 * x^1
p_ 2, 1(x)=
- 48 * x^0 + 18 * x^1
Weiter mit beliebiger Taste
Spalte 2
-----------
p_ 0, 2(x)=
+ 3 * x^0 - 3.5 * x^1 + 1.5 * x^2
p_ 1, 2(x)=
+ 36 * x^0 - 31 * x^1 + 7 * x^2
Weiter mit beliebiger Taste
Spalte 3
-----------
p_ 0, 3(x)=
- 8 * x^0 + 16.6667 * x^1 - 9.5 * x^2 + 1.83333 * x^3
Weiter mit beliebiger Taste
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[attach]9301[/attach] |
| 03.12.2008, 20:25 |
Bjoern1982 |
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| Zitat: |
| Kannst du mir sagen, warum Aitken-Neville von Vorteil sein soll, wenn es "genau" um einen Wert geht. Also im Vergleich zu Neville. |
Mit Neville Polynomen kenn ich mich nicht aus, wir hatten in der Vorlesung nur kurz die Rekursionsvorschrift zur Aitken-Neville Interpolation erwähnt und mit dieser habe ich dann direkt an der Stelle x bzw k=2,5 den Funktionswert des entsprechenden Polynoms berechnet. Soll ich meine Lösung noch posten ?
Gruß Björn |
| 03.12.2008, 20:30 |
tigerbine |
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Wie Neville geht hab ich ja gepostet, aber zeig doch mal deine. Aitken bezieht sich ja "nur" auf eine andere Zusammenfassung der Interpolationspunkte. Kann man im Beispiel-Workshop sehen.
Aber da die Zahl am Ende interessiert, sollte es keine Rolle spielen. Aber vielleicht kannst du in der Übung ja mal nachfragen, ob es einen Unterschied machen würde oder warum man Aitken nimmt.
Gruß
|
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| 06.12.2008, 20:34 |
Bjoern1982 |
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Hier meine Lösung mittels Aitken-Neville-Interpolation:
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| 07.12.2008, 01:30 |
tigerbine |
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Ok, wenn ich das kurz überblicke, ist das das gleiche was ich unter Neville verstehe ([WS] Polynominterpolation - Beispiele)
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Neville Schema - Funktionswerte bei 2.5
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NW =
1.0000 1.0000 2.5000 3.6250 2.9375
2.0000 2.0000 4.0000 2.2500 0
3.0000 6.0000 -3.0000 0 0
4.0000 24.0000 0 0 0
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Aitken impliziert für mich, dass ein Bündel zusammenhängender Knoten und 1 weiterer Interpoliert werden ([WS] Polynominterpolation - Beispiele) |
