Konvergenz einer entarteteten Fibonacci-Folge

01.12.2008, 08:02

Filius

Konvergenz einer entarteteten Fibonacci-Folge

zZ: Die Konvergenz von:

a0 = a
a1 = b
an = 1/2 [a(n-1) + a(n-2)]

Wie kann ich den Grenzwert (a+ (2/3)*(b-a) ) beweisen?

Konvergenz selbst ist ja leicht zu zeigen, da 2 Folgenglieder stets näher zusammenstehn als ein Folgenglied und das vorletzte Folgenglied davor, womit es eine Cauchy-Folge ist und daher Konvergiert.

Aber beim beweisen des grenzwertes komme ich einfach zu keinem brauchbaren Lösungsweg

01.12.2008, 09:17

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$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2} \left( a_{n-1} + a_{n-2} \right) \end{eqnarray*}$

ist eine spezielle Lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten, für die die charakteristische Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda^2 - \frac{1}{2}\lambda - \frac{1}{2} = (\lambda - 1) \left(\lambda + \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$

lautet, und demzufolge die allgemeine explizite Lösung

$\begin{eqnarray*} a_n = C_1 + C_2 \left( -\frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$

lautet. Die Werte $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ für deine konkrete Folge kannst du aus den Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} a_0=a,a_1=b \end{eqnarray*}$ ermitteln. Und mit der expliziten Darstellung sollte dann auch der Grenzwert kein Problem mehr sein.

P.S.: Leider unterstützt das Matheboard keine extrem langen HTTP-Links, eigentlich sollte der vollständige Link

code:
1:	http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung#L.C3.B6sung_linearer_Differenzengleichungen_mit_konstanten_Koeffizienten

lauten.

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