Divergenz in Polarkoordinaten

01.12.2008, 10:06

Fletcher

Divergenz in Polarkoordinaten

Guten Morgen,

ich soll die Divergenz zu einem gegebenen Vektorfeld berechnen und zwar in Polarkoordinanten. Dabei ist die Divergenz allg. bekannt und lautet:

$\begin{eqnarray*} div(\vec f)=\frac{1}{r}(\frac{\partial}{\partial r}rf_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} f_{\phi} \end{eqnarray*}$

Die Funktion lautet jetzt einfach: $\begin{eqnarray*} \vec f(\vec r)=a\vec r \end{eqnarray*}$

Mein Problem, was ist von dieser Funktion nun $\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_{\phi} \end{eqnarray*}$ um obige Formel benutzen zu können?!

Weiß das jemand?

01.12.2008, 12:53

LowDepth

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Schau dir doch mal die Umwandlung von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten an. Das sollte dir weiterhelfen. Du musst dein $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ in Terme mit $\begin{eqnarray*} r \cdot cos(\Phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \cdot sin(\Phi) \end{eqnarray*}$ umwandeln.
Zumindest wenn ich richtig verstehe, dass dein $\begin{eqnarray*} \vec{f} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ ist.

01.12.2008, 13:09

Raumpfleger

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RE: Divergenz in Polarkoordinaten

Zitat:

Original von Fletcher

Mein Problem, was ist von dieser Funktion nun $\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_{\phi} \end{eqnarray*}$ um obige Formel benutzen zu können?!

$\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$ ist die Koordinate der Funktion, die in Richtung des radialen Einheitsvektors $\begin{eqnarray*} \bold{e}_r \end{eqnarray*}$ anfällt, $\begin{eqnarray*} f_{\phi} \end{eqnarray*}$ ist die Koordinate in Richtung des polaren Einheitsvektors $\begin{eqnarray*} \bold{e}_\phi \end{eqnarray*}$ , mit anderen Worten $\begin{eqnarray*} \vec{f}(x, y) = f_x(x,y) \bold{e}_x + f_y(x,y) \bold{e}_y = f_r(r, \phi) \bold{e}_r + f_\phi(r, \phi) \bold{e}_\phi = \vec{f}(r, \phi) \end{eqnarray*}$ .

01.12.2008, 18:45

Fletcher

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Ja,

aber ich verstehe es nicht. Was heißt das nun für meine Funktion $\begin{eqnarray*} \vec f(\vec r)=a\vec r \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß z.b. nicht, ob dieser Vektor r schon in Polarkoord. oder noch in kartesischen Koordinaten zu verstehen ist. Ich weiß einfach nicht weiter.

Kann ich dann z.b. $\begin{eqnarray*} \vec f(\vec r)= r\cdot \vec{e_r}+r\cdot\vec{e_{\phi}} \end{eqnarray*}$
schreiben?

01.12.2008, 20:39

Fletcher

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mir fällts einfach nicht ein.

02.12.2008, 14:26

Raumpfleger

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Was ist $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ ? Ist $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \vec{r}(x, y) = x \bold{e}_x + y \bold{e}_y = \sqrt{x^2 + y^2} (cos\phi \bold{e}_x + sin\phi \bold{e}_y) = r (cos\phi \bold{e}_x + sin\phi \bold{e}_y) = r \bold{e}_r \end{eqnarray*}$ ? In dem Falle wäre $\begin{eqnarray*} \vec{f}(\vec{r}) = a r \bold{e}_r \end{eqnarray*}$ und das Vektorfeld ist winkelunabhängig.

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