Konvergenz und Stetigkeit

01.12.2008, 17:36

Fabian06

Konvergenz und Stetigkeit

Hallo miteinander!

Bin an folgender Aufgabe:

Wir definieren $\begin{eqnarray*} f_n(x) := \sqrt{1-x^2/n} \end{eqnarray*}$ für x Element D: = [-1;1] und n >= 1.

Ich soll nun beweisen, dass für alle x Element D und y Element R mit |y|<1 die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} F_y(x) := \sum_{n=1}^\infty~f_n(x)y^n \end{eqnarray*}$ konvergiert und stetig ist.

Ich habe mal folgenden Ansatz gemacht:

Sei x_0 Element von R. Zudem sei Epsilon>0. Wenn die Potenzreihe nun stetig ist, sollte es ein Delta geben, so dass |x - x_0| < Delta. Daraus folgt: |f(x) - f(x_0)| < Epsilon.

Nun sei (x - x_0) = h. Es gibt ein Delta so dass |h| < Delta --> |(x_0 + h)^0.5 - x_0^0.5| < Delta.

Ich will: |(x_0 + h|^0.5 - x_0| = |2x_0h + h^0.5| < Epsilon. Dafür genügt es, dass
1.) |2x_0h + h^0.5| < (Epsilon / 2)
2.) |h^0.5 < (Epsilon / 2)

Stimmt dieser Ansatz?
(wie würde es evtl. weitergehen? habe eigentlich schon einen Weitergang, aber der wäre natürlich nur dann gut, wenn auch dieser Ansatz hier stimmt smile

Vielen Dank!

01.12.2008, 20:23

Mathespezialschüler

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Kannst du das Ganze vielleicht nochmal etwas strukturierter und geordneter aufschreiben? So ist das meiner Meinung nach ein ziemliches Durcheinander. Außerdem ergeben deine Kausalitäten teilweise keinen Sinn. Auch solltest du Deltas, die verschieden sind, auch unterschiedlich benennen und nicht mit dem gleichen Wort bzw. Buchstaben!

01.12.2008, 22:00

Fabian06

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Sei x_0 Element von R. Zudem sei Epsilon>0. Wenn die Potenzreihe nun stetig ist, sollte es ein Delta geben, so dass |x - x_0| < Delta. Daraus folgt: |f(x) - f(x_0)| < Epsilon.

Nun sei (x - x_0) = h. Es gibt ein Delta_1, so dass |h| < Delta_1 --> |(x_0 + h)^0.5 - x_0^0.5| < Delta_1.

Es genügt zu zeigen:
|(x_0 + h)^0.5 - x_0| = |2x_0*h + h^0.5| < Epsilon.
Dafür genügt es, dass
1.) |2x_0*h + h^0.5| < (Epsilon / 2)
2.) |h^0.5 < (Epsilon / 2)

Sorry, viel strukturierter ist es auch nicht - aber evtl. gibts ja einen vielviel einfacheren Weg?

Thanks a lot!

01.12.2008, 22:22

Mathespezialschüler

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Ich verstehe einfach nicht, was du machst. Aber der Reihe nach.

Zitat:

Original von Fabian06
Sei x_0 Element von R. Zudem sei Epsilon>0. Wenn die Potenzreihe nun stetig ist, sollte es ein Delta geben, so dass |x - x_0| < Delta.

Das ergibt keinen Sinn! Da ist kein Zusammenhang zum $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und was $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist, ist auch nicht klar.

Zitat:

Original von Fabian06
Nun sei (x - x_0) = h.

Da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht fest ist, ergibt das wenig Sinn. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist also kein fester Wert.

Zitat:

Original von Fabian06
Es gibt ein Delta_1, so dass |h| < Delta_1 --> |(x_0 + h)^0.5 - x_0^0.5| < Delta_1.

Das ist im Allgemeinen falsch. Was genau willst du damit ausdrücken?

Zitat:

Original von Fabian06
Es genügt zu zeigen:
|(x_0 + h)^0.5 - x_0| = |2x_0*h + h^0.5| < Epsilon.

Wofür genügt das zu zeigen? Und wie genau hast du diese Umformung gemacht?!

01.12.2008, 22:53

Fabian06

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Also, besser nochmals von vorne:

a) Zuerst die Konvergenz:

wenn n immer mehr gegen oo geht, so wird f_n(x) = 1.
Da |y| < 1 ist, geht y^n mit n gegen oo immer mehr gegen 0.

Das heisst, F_y(x) konvergiert.

b) Zur Stetigkeit: (unsicher)
f: [a,b] --> R ist eine stetige Funktion mit a < b und f(a) < f(b).
Es existiert für alle d Element von [f(a), f(b)] ein x Element [a,b] so dass f(x) = d.

Sorry für die schlechte Darstellung. =(

01.12.2008, 22:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Fabian06
a) Zuerst die Konvergenz:

wenn n immer mehr gegen oo geht, so wird f_n(x) = 1.
Da |y| < 1 ist, geht y^n mit n gegen oo immer mehr gegen 0.

Das heisst, F_y(x) konvergiert.

Hast du vielleicht auch mathematisch exakte Argumente? Das hier sind jedenfalls keine solchen.

Zitat:

Original von Fabian06
b) Zur Stetigkeit: (unsicher)
f: [a,b] --> R ist eine stetige Funktion mit a < b und f(a) < f(b).
Es existiert für alle d Element von [f(a), f(b)] ein x Element [a,b] so dass f(x) = d.

Hier hast du leider wirklich gar nichts gezeigt. Die Stetigkeit welcher Funktion soll das beweisen? Und warum?

01.12.2008, 23:42

Fabian06

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Also zur Konvergenz: Das habe ich bis jetzt immer so gemacht, und es wurde meistens auch akzeptiert...

Und zur Stetigkeit: ...vielleicht wärest du so nett und kannst mir da auf die Sprünge helfen?

smile

01.12.2008, 23:57

Mathespezialschüler

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Ahja, interessant. Studierst du Mathematik oder einen anderen Studiengang, in dem das nicht so genau genommen wird?

Konvergenz: Für $\begin{eqnarray*} |y|<1 \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f_n(x)y^n|\leq |y|^n \end{eqnarray*}$ und nach dem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe deswegen (sogar absolut).

Zur Stetigkeit erstmal eine Frage: Ich nehme an, man soll entscheiden, ob die Funktion $\begin{eqnarray*} F_y(x) \end{eqnarray*}$ bei festem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stetig ist?

02.12.2008, 00:23

Fabian06

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Hihi...ja, ich studiere Mathematik..
Zugegeben, es klingt schon um einiges "schöner".... Freude

Ja, ich denke schon, dass es bei einem festem y gemeint ist - vermerkt ist auf alle Fälle nichts, ausser: |y| < 1 .

Vielen herzlichen Dank!

02.12.2008, 00:57

Mathespezialschüler

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Wenn du schon solche Aufgaben lösen musst, dann sollten dir auch Stetigkeitskriterien beim Grenzübergang bekannt sein. Insbesondere musst du natürlich Stetigkeitsbeweise mit stärkeren Mitteln führen können und nicht immer alles mit der grundlegenden $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Definition beweisen zu wollen. Also, ich klatsch dir mal etwas hin und dann guckst du mal, was du davon verstehst (je nachdem, wie weit ihr in der Vorlesung seid):

Bei festem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |y|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\|f_n|y|^n\|_{\infty}=\sum_{n=1}^{\infty}~|y|^n \end{eqnarray*}$ . Nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium muss die Konvergenz dieser Reihe deshalb gleichmäßig sein und da alle Folgenglieder stetig sind, muss auch die Grenzfunktion stetig sein.

02.12.2008, 01:49

Fabian06

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wow...ich bin beeindruckt...
ich werde morgen dann allfällige fragen dazu stellen, da ich das schon mit den Vorlesungs-Notizen vergleichen sollte

Vielen herzlichen Dank!! smile

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