Definitionsfrage: Kompakt und abgeschlossen |
| 01.12.2008, 16:49 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Definitionsfrage: Kompakt und abgeschlossen Was muss genau erfüllt sein, dass eine Menge abgeschlossen ist? (--> Min. und Max. ?) Und was, wenn sie kompakt ist? Kann es sein, dass eine Menge kompakt ist, aber nicht abgeschlossen ist? (Umgekehrt ist es möglich, oder?) Vielen Dank für die Antworten! |
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| 01.12.2008, 19:19 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das kommt auf die Definition an. Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Das ist die allgemeinste Definition. Je nachdem worum es geht, kann es auch andere äquivalente Beschreibungen geben. In welchem Bereich befinden wir uns denn? , normierte Räume, metrische Räume oder sogar topologische Räume?
Im allgemeinsten Fall: Jede offene Überdeckung besitzt eine endliche Teilüberdeckung. Diese ganzen Definitionen kann man aber auch überall nachlesen, dafür musst du hier nicht nachfragen.
Umgekehrt ist es in jedem Fall möglich. Ich gehe mal davon aus, dass es bei dir höchstens um metrische Räume geht und sage deswegen: Eine kompakte Menge ist immer abgeschlossen. In allgemeinen topologischen Räumen muss dies nicht gelten. |
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| 01.12.2008, 20:55 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank - hat mir sehr geholfen! Ja, es geht "nur" um R, Q, und C. Bei C habe ich aber eine Frage... Es gilt: { } geschnitten mit C, wobei Alpha, Beta Element C Konstanten sind. Stimmt es, dass diese Menge offen und nicht kompakt ist? |
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| 01.12.2008, 20:56 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bitte was gilt? Ich sehe da keine Aussage. |
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| 01.12.2008, 21:35 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Neinein, es ist keine Aussage, sondern man sollte zeigen, ob die Menge abgeschlossen und evtl. auch kompakt ist. |
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| 01.12.2008, 21:37 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok. Es stimmt nicht, dass die Menge offen ist. Warum sollte sie offen sein? Aber sie ist im Allgemeinen (du musst einen Spezialfall beachten) nicht kompakt, das ist richtig. |
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| 01.12.2008, 22:32 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meinst du, wenn Alpha 0 ist? |
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| 01.12.2008, 22:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. |
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| 01.12.2008, 22:44 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okey ja, dann ist sie natürlich kompakt - aber das ist der einzige Spezialfall, nicht wahr? |
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| 01.12.2008, 23:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja genau. |
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| 01.12.2008, 23:27 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Super! Vielen Dank! Bei einer (von dieser Art letzten) Aufgabe wäre ich noch um eine Bestätigung froh: {z Element C | f(z) = c} wobei f: C --> R stetig und c Element R ist. Stimmt es, dass diese Menge nicht abgeschlossen (also: offen) und daher nicht kompakt ist? |
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| 01.12.2008, 23:48 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie kommst du darauf? Im Übrigen sind "abgeschlossen" und "offen" keine gegenteiligen Begriffe, wie du es gerade behauptest! |
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| 02.12.2008, 00:37 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achsoo, na das wusste ich nicht. Ich meine in diesem Fall einfach nicht abgeschlossen darum, weil C bzw. R ja keine "Grenzen" besitzen... |
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| 02.12.2008, 01:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das hat nichts mit Abgeschlossenheit, sondern etwas mit Beschränktheit zu tun. Die Menge ist sehr wohl abgeschlossen, im Allgemeinen allerdings nicht beschränkt, also auch nicht kompakt. |
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