(Gleichmässige) Stetigkeit

01.12.2008, 17:54

Simon01

(Gleichmässige) Stetigkeit

Guten Abend miteinander!

Wenn ich die Funktion: f: R-->R, x-->Wurzel aus |x| habe, und beweisen soll, ob sie gleichmässig stetig ist - wie mache ich das genau?

Anhand des Bildes kann ich sehen, dass die Funktion nicht stetig ist, und der Graph für je grösseres x immer flacher wird - aber wie kann ich das "richtig" beweisen?

Soll ich einfach zwei gleich grosse Abschnitte a und b bzw. a' und b' wählen, um zu zeigen, dass die y-Differenz sich nicht immer gleich verändert?

Herzlichen Dank für die Hilfe!

01.12.2008, 20:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Simon01
Anhand des Bildes kann ich sehen, dass die Funktion nicht stetig ist

War das nur ein Verschreiber? Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Du musst zum Beweis der gleichmäßigen Stetigkeit zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass aus $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \left|\sqrt{|x|}-\sqrt{|y|}\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ folgt. Hast du vielleicht eine Idee für das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ?

01.12.2008, 21:43

Simon01

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äääää shit....ja, sie ist natürlich! stetig - sorry!

ja, z.B. Delta grösser als 12 (also z.B. 13, 14, ...)
ich denke da eben (als Bsp.) an x=16 und y=4

so wären beispielsweise alle Bedingungen erfüllt...

01.12.2008, 21:46

Mathespezialschüler

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Naja du sollst es ja für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ dann zeigen, insofern bringen die Beispiele wirklich gar nichts. Versuch doch mal, $\begin{eqnarray*} \left|\sqrt{|x|}-\sqrt{|y|}\right| \end{eqnarray*}$ geeignet abzuschätzen, sodass du dann darauf kommst, welches $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ man in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ nehmen könnte.

01.12.2008, 22:24

Simon01

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Oke...ich würde $\begin{eqnarray*} \left|\sqrt{|x|}-\sqrt{|y|}\right| \end{eqnarray*}$ so abschätzen, dass es grösser als 0 sein muss und dann offen ist gegen oo.
...allerdings bin ich nicht sicher, ob du das als "Abschätzung" wolltest..

01.12.2008, 22:34

Mathespezialschüler

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Hm aber das bringt doch nichts. Du musst Stetigkeit zeigen! Hast du so etwas schon mal gemacht? Dann müsstest du doch ungefähr wissen, wie so etwas funktioniert. Mal ein Anfang: Es gilt

$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt{|x|}-\sqrt{|y|}\right|\leq \sqrt{||x|-|y||} \end{eqnarray*}$ .

Du darfst begründen, warum das gilt und dann damit weiter machen.

20.01.2013, 03:19

baxbear

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mal das thema hier wieder ans tageslicht holen

wollte fragen warum dass gilt.

mit der Dreiecksungleichung bekomm ich es nicht gezeigt.

Rein aus Interesse kann das wer erklären plz?

20.01.2013, 03:40

Screwhal

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Re
Warum das so ist sollte intuitiv klar sein. Um die Ungleichung zu beweisen setzte o.B.d.A. x>y, dann können wir die Beträge weglassen und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} - \sqrt{y} \leq \sqrt{x-y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{x-y}+\sqrt{y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x\leq x-y+y+2\sqrt{x-y}\cdot \sqrt{y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x\leq x+2\sqrt{x-y}\cdot \sqrt{y} \:\:\surd \end{eqnarray*}$

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