Abbildung

01.12.2008, 18:10

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

Abbildung

Salüü!

Ich sitze vor einer Aufgabe und habe echt keinen Blassen.
Deswegen habe ich gedacht, könne ich ja mal euer Forum "testen" smile

smile

Also, die Aufgabe lautet:
Sei f: R --> R eine stetige Abbildung mit :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} f(x) = l \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte man zeigen, dass es ein x' gibt, so dass f(x') = x'.

Ich habe mal was probiert:

g(x) = f(x)
Hat g(x) eine Nullstelle? (nein)

lim(g(x)) = -oo weil f(x) --> l nicht gleich +/- oo
lim(g(x)) = +oo weil f(x) --> l nicht gleich +/- oo

lim(g(x)) = -oo --> Es gibt ein M so dass x > M --> g(x) >= 10.
lim(g(x)) = +oo --> Es gibt ein M < 0 so dass x < M --> g(x) <= -10.

Nun würde ich ein x_1 > M, x_2 < M wählen und den Zwischenwertsatz anwenden auf g und [x_2, x_1] und c=0: Es gibt ein x' Element von [x_2, x_1] so dass g(x') = 0, dh f(x') = x' .

Hmm jaa...also falls das gut wäre, würde ich froh sein, wenn das jemand "nachmachen" kann und mir dann vielleicht konkret weiterhelfen könnte, weil ich schon vieles probiert habe und nie zu einem Resultat gekommen bin...ich vermute, dass es ab dem Zwischenwertsatz bei mir jeweils schief lauft =S

Vielen Dank für eine Rückmeldung!

01.12.2008, 20:12

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ausführungen verstehe ich nicht so recht, deswegen ein Alternativvorschlag: Betrachte $\begin{eqnarray*} h(x):=f(x)-x \end{eqnarray*}$ . Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}h(x) \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}h(x) \end{eqnarray*}$ ? Was folgt daraus?

01.12.2008, 21:25

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

oookey...ich hoffe, ich verstehe es richtig:

limh(x) = 0 (für x --> +oo)
limh(x) = oo (für x --> -oo)

hmm...was daraus folgen soll seh ich nun nicht sofort...

01.12.2008, 21:30

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pietro
limh(x) = 0 (für x --> +oo)

Warum das?

01.12.2008, 21:33

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

..eben, doch -oo

..habe das noch gehabt, war aber dann doch etwas verunsichert..

01.12.2008, 21:40

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Was bedeutet es (nach Definition), dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}h(x)=-\infty \end{eqnarray*}$ gilt? Analog für den anderen Limes.

Anzeige

01.12.2008, 21:46

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

Es bedeutet, dass l die Gegenzahl von L ist bzw. L die Gegenzahl von l.

01.12.2008, 21:53

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ergibt keinen Sinn. Was ist denn eine Gegenzahl? Ich wollte jetzt von dir hören, was es bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}h(x)=-\infty \end{eqnarray*}$ gilt?!

01.12.2008, 22:30

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

achsoooooo...jetzt weiss ich, auf was du hinaus wolltest smile

smile

Sie divergiert, und das gegen -oo

01.12.2008, 22:39

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wann divergiert eine Funktion bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ? Was ist die mathematisch exakte Definition dafür?

01.12.2008, 23:37

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion f hat für x-->p (hier: allgemein) (mit p Element R) den Limes -oo, wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl T ein (im Allgemeinen von T abhängiges) ´ > 0 gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung 0 < | x − p | < ´ genügen, auch f(x) > T erfüllt ist.
In diesem Falle nennt man den Grenzwert f(x): = -oo bestimmt divergent.

01.12.2008, 23:39

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt nochmal so, dass man es lesen kann bitte. Du kannst es dafür auch selbst reinschreiben und musst es nicht kopieren. So viel Arbeit kannst du dir ja vielleicht gerade noch machen.

01.12.2008, 23:50

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, bei mir konnte man es wenigstens lesen smile

smile

Die Funktion f hat für x-->p mit p Element von R den Limes -oo, wenn es zu jeder noch so grossen reellen Zahl T ein im Allgem. von T abhängiges Delta > 0 gibt, so dass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die in der Bedingung 0 < | x - p | < Delta genügen, auch f(x) > T erfüllt ist.
In diesem Falle nennt man den Grenzwert f(x):= -oo also bestimmt divergent.

02.12.2008, 00:01

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war jetzt die Definition für den 'Grenzwert' $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . Da sich die Definition wesentlich verändert, wenn $\begin{eqnarray*} p=\infty \end{eqnarray*}$ ist, möchte ich, dass du dir dieser Sache auch erstmal klar wirst. Also wie muss sie im Falle $\begin{eqnarray*} p=\infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p=-\infty \end{eqnarray*}$ lauten?

02.12.2008, 00:38

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch noch was gefunden in meinen Unterlagen smile

smile

Es sei f: D --> C eine Funktion mit einem nach unten nicht beschränkten Definitionsbereich D geschnitten mit R. Dann heisst a Element C Grenzwert von f in -oo, wenn es zu jedem Epsilon > 0 eine Zahl N gibt, so dass |f(x) - a| > Epsilon für x Element D mit x > N.

02.12.2008, 00:51

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

So und jetzt beides zusammenfügen:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} h:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ hat den uneigentlichen Grenzwert $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} T\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)<T \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>N \end{eqnarray*}$ .

So und jetzt zurück zur eigentlichen Aufgabe. Ideen?

02.12.2008, 01:44

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank!

Hmm...jaa..also ich habe mir nun mal ein Bild skizziert, worauf eine Konstante auf der positiven y-Achse und eine auf der negativen liegt, aber wie's konkret weitergehen soll weiss ich echt nicht...

02.12.2008, 02:27

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wähle $\begin{eqnarray*} T=-1 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es nach obiger Formulierung ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x>N \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} f(x)<-1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt mach das Gleiche nochmal für den anderen Grenzwert, allerdings mit $\begin{eqnarray*} T=1 \end{eqnarray*}$ . Und dann überleg mal, wie der Zwischenwertsatz ins Spiel kommen könnte.

02.12.2008, 12:43

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, der Zwischenwertsatz sagt ja aus, dass eine reelle Funktion, die auf einem abgeschkossenen Intervall [a,b] stetig ist, jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Und wenn zudem f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen haben, gibt es noch mindestens eine Nullstelle.

Ich würde also sagen, dass a und b -1 und 1 sind und f(a) und f(b) (dementsprechend?) voneinander verschiedene Vorzeichen haben, also gäbe es zudem noch mindestens eine Nullstelle...

Damit hätte ich allerdings noch nicht gezeigt, dass es ein x' gibt, sodass f(x') = x' ist.

Ich danke Dir vielmals für die Hilfe! smile

smile

02.12.2008, 18:27

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie hast du das, was wir gerade ausgeführt haben, jetzt gar nicht mehr genutzt und dafür einfach irgendwelche Behauptungen aufgestellt, die in der Regel total falsch sind.

Ich hatte oben leider $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ verwechselt, Entschuldigung. Gesucht ist ja eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}h(x)=\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty}h(x)=-\infty \end{eqnarray*}$ gilt. Daraus folgt:

Es gibt zu $\begin{eqnarray*} T=1 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N_1\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h(x)>1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x<N_1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem gibt es zu $\begin{eqnarray*} T=-1 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h(x)<-1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>N_2 \end{eqnarray*}$ . Und jetzt darfst du dich nochmal versuchen. Wie bekommt man daraus die Existenz einer Nullstelle von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ?

02.12.2008, 19:51

Pietro

Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoo...jetzt ist's klarer =)

Für ein T (und somit ein N_1) gilt ja, dass h(x) > 1 ist, während dem für ein -T (und N_2) ein h(x) < 1 ist, das heisst also, dass es ein Wert f(x') geben muss der dann = 0 ist, da (bildlich gesehen) die Kurve die x-Achse ja mal schneiden muss (=Nullstelle).

03.12.2008, 16:12

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wollen doch nach der ganzen exakten Arbeit jetzt nicht einfach sagen "sieht man ja". Dann wäre ja alles umsonst gewesen. Also: Seien $\begin{eqnarray*} x_1<N_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2>N_2 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gilt $\begin{eqnarray*} h(x_1)>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x_2)<-1 \end{eqnarray*}$ . Und jetzt darfst du mal den Zwischenwertsatz anwenden, und zwar nicht "bildlich", sondern mathematisch exakt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »