Extremwertproblem: Maximales Rechteck in Dreieck |
| 31.08.2006, 12:09 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Extremwertproblem: Maximales Rechteck in Dreieck Wir haben neulich im Unterricht eine Aufgabe gehabt, bei der wir ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 12cm und 8cm hatten, in das ein möglichst flächengroßes Rechteck eingeschrieben werden sollte. Über den üblichen Weg ist diese Aufgabe prima zu lösen: Extremalbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion, Extremum feststellen. Haben wir auch so gemacht.. Dabei fiel uns dann auf, dass die Seiten des Rechtecks genau die Hälfte der Dreieckskatheten waren. Als wir dann dieselbe Aufgabe mit anderen Kathetenlängen rechneten, fiel uns auf, dass auch dort das eingeschriebene Rechteck genau dann maximal in seiner Fläche war, wenn die Rechtecksseiten die Hälften der Kathetenseiten waren. Das legte uns die Vermutung nahe, dass ein in ein Dreieck eingeschriebenes Rechteck immer dann maximalen Flächeninhalt besitzt, wenn seine Seiten halb so lang sind, wie die Katheten des Dreiecks. Wenn also die Katheten a und b heißen, sollen die Rechtecksseiten 1/2*a und 1/2*b sein. Nun meine Frage: Wie kann ich diesen Sachverhalt beweisen? Ich brauche einen beweis, der aussagt, dass ein in ein Dreieck eingeschriebenes Rechteck nur dann maximal ist, wenn die Seiten gleich den Hälften der Katheten ist. Habt ihr vielleicht einen brauchbaren Ansatz? Ich weiß nicht, wie man ein Maximum beweisen soll oder den Nachweis eines Extremums bei einer Funktion nachzuweisen. |
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| 31.08.2006, 12:43 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
Versuch den Beweis wie in der Schule doch mal genauso, nur eben mit den allgemeinen Kathetenlängen a,b zu. Auch hier bekommst du Zielfunktion, Nebenbedingung wie gehabt, nur stehen eben noch die Parameter a,b drin. Wenn deine Aussage stimmt, sollte "dein" Extremum so allgemein auffindbar sein. |
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| 31.08.2006, 12:43 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Rechnung funktioniert genauso wie bei den Beispielen die ihr bereits behandelt habt. Das Problem ist nur dass die Sache etwas unübersichtlicher wird weil jetzt statt der bekannten Seitenlängen die Bezeichnungen "a" und "b" verwendet werden müssen. Edit: LOED war schneller aber nur weil ich vorher überprüft habe ob die Behauptung auch wirklich stimmt. |
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| 31.08.2006, 20:12 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super, Danke!! Hat geklappt ... Bin da nur nicht selbst drauf gekommen, weils so simpel war 
Danke noch mal euch beiden, meinem Lehrer hats gefallen ;> |
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