Mächtigkeit von Mengen, (Über)abzählbarkeit

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bappi Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit von Mengen, (Über)abzählbarkeit
Hallo!

Seien Begründe, dass folgende Mengen gleichmächtig sind:

(a) und die Mengen der ungeraden natürlichen Zahlen;

(b) und

...

(d) und

(e) und

(f) und die Menge aller Folgen in


Gleichmächtigkeit bedeutet ja, dass eine Bijektion von der Menge A auf B gibt.

Soweit so gut. Bei (a) ist das ja noch recht leicht, da sage ich einfach, wenn man sich die Zahlen zur Anschauung tabellarisch übereinanderschreibt, ergibt sich sich leicht eine Abb.

, die offensichtlich auch bijektiv ist.

bei (e) würde mir z.B. noch eine Bijektion einfallen, die auch bijektiv ist.

Kennt jemand vlt eine gute Seite dazu, oder hat 2 Minuten Zeit das kurz genauer zu erläutern smile

Bin für jede Hilfe dankbar Augenzwinkern

Mfg!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die von dir bei (e) angegebene Abbildung ist nicht bijektiv.

Machen wir doch erstmal bei der (b) weiter, nachdem die (a) richtig gelöst ist.

Denk mal an die Gerade durch die Punkte (0,a) und (1,b)
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Schade ich dachte es lässt sich übertragen Big Laugh

Okey mit einer Gerade durch die Punkte habe ich

, was auch wieder bijektiv ist!

Heißt das jetzt also auch



Wieso kann die Gerade nicht durch die Punkte und gehen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bappi
Heißt das jetzt also auch




Wasn das für ne Frage? Was ist f?


Zitat:
Original von bappi
Wieso kann die Gerade nicht durch die Punkte und gehen?


Welche Punkte? Ich glaube, du solltest dich erstmal ganz in Ruhe sammeln.
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich etwas sehr doof ausgedrückt und noch verschrieben...

Meine Frage war eigentlich nur, ob man die Gerade nicht auch durch die Punkte und bilden kann.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Klar kannst du eine Gerade durch diese Punkte legen. Und dann?
 
 
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann hab ich das richtig verstanden smile .

Bei (c) würde ich es ähnlich begründen wie "Hilberts Hotel".

Bei (d) bin ich immer noch am knobeln, eine bijekive Funktion zu finden. Ich hab schon einiges probiert, z.B.

sind alle nicht bijektiv...

Wäre auch auch möglich, da ist mir nämlich noch nicht klar, wie man die Bijektion zeigen kann. (Einfach Komponentenweise sicher oder?)

Mfg!
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo bappi,

Zur vorigen Frage noch:

Denke daran, dass f eine Abbildung von [0; 1] nach [a; b] ist. Wer sagt denn, dass 1 überhaupt im Intervall [a; b] liegt? Denn nur dann ergibt die Zuordnung 0 --> 1 einen Sinn. Bei a --> b genauso.

Davon abgesehen: Warum sind Dir einzelne Zuordnungen wichtig? So lange f eine Bijektion von [0; 1] nach [a; b] ist, spielt der Rest doch keine Rolle, oder?
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Denke daran, dass f eine Abbildung von [0; 1] nach [a; b] ist. Wer sagt denn, dass 1 überhaupt im Intervall [a; b] liegt? Denn nur dann ergibt die Zuordnung 0 --> 1 einen Sinn. Bei a --> b genauso.

Ja gut verstanden!

Zitat:
Davon abgesehen: Warum sind Dir einzelne Zuordnungen wichtig? So lange f eine Bijektion von [0; 1] nach [a; b] ist, spielt der Rest doch keine Rolle, oder?

Ja so in der Art meinte ich das auch, hab mich nur etwas sehr komisch ausgedrückt.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bappi

Wäre auch auch möglich, da ist mir nämlich noch nicht klar, wie man die Bijektion zeigen kann. (Einfach Komponentenweise sicher oder?)


Das ist aber keine Bijektion -- für welches x soll beispielsweise f(x) = (2, 2) gelten? Übrigens wäre das Ergebnis natürlich eine Funktion von R nach R², Du müsstest dann noch die Umkehrfunktion bilden.

Also ich bin mir sicher, dass man in diesem Fall nicht einfach durch Nachdenken auf eine Lösung kommt. Schon eine Bijektion von N nach N² ist aufwendig zu konstruieren (siehe Cantorsche Paarungsfunktion).

Ist das Cantorsche Diagonalargument evtl. das richtige Stichwort?
bappi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt eine Weile im Inet gesucht und finde leider auch nichts...

Das stimmt natürlich, würde man jetzt z.b. die Funktion wählen, würde, diese sich dann überhaupt "einfach umkehren lassen" auf? Bzw. wie lässt sich so eine Funktion überhaupt umkehren?

Zitat:
Ist das Cantorsche Diagonalargument evtl. das richtige Stichwort?

Hat unser Prof leider sehr kurz abgehandelt, da werd ich mich mal reinlesen! Mal sehen was unser Übungsleiter morgen dazu meint.
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