Äquivalenz von Aussagen |
01.12.2008, 21:18 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Äquivalenz von Aussagen Steh gerade auf Kriegsfuß mit einer Aufgabe und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Aufgabe: Begründen Sie, dass die beiden Möglichkeiten der Definitionen der Injektivität einer Abb. logsich äquivalent sind. Mein Ansatz: (1) f(x) = f(y) =>x =y : f ist injektiv,wenn aus der Gleichheit von den y-Werten die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten x-Werte folgt. (2) f(x) ungleich f(y),wenn x ungleich y : Eine Injektivität liegt vorwenn ungleiche x werte auf ungleiche y werte abgebildet werden. Ab da steh ich auf dem Schlauch. Irgendwie hab ich ein Problem mit logischem Denken :-( Kann mir wer weiterhelfen? |
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01.12.2008, 22:01 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Und wie genau soll die Begründung aussehen? Ist eine rein logische Herleitung gefordert? Oder reicht eine grobe Erklärung? |
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02.12.2008, 08:10 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey, ich denke mit einer Erklärung ist mir erstmal geholfen. :-) |
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02.12.2008, 11:15 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also begründet werden soll die Gleichwertigkeit der Aussagen: 1) Für alle x und alle y der Definitionsmenge gilt 2) Für alle x und alle y der Definitionsmenge gilt Die erste Aussage ist wahrscheinlich auch mit dem „gesunden Menschenverstand“ leicht verständlich. Wie Du schon gesagt hast: Zwei verschiedene Stellen werden immer zwei verschiedenen Funktionswerten zugeordnet. Damit ist ausgeschlossen, dass zwei Stellen denselben Funktionswert haben. Die Zuordnung ist eindeutig, d. h., jede Stelle ist höchstens einem Funktionswert zugeordnet. Die zweite Aussage ist sicher etwas schwieriger zu verstehen: Man betrachtet die Funktionswerte an zwei Stellen x und y. Wenn diese Funktionswerte identisch sind -- es sich in Wahrheit also um einen einzigen Funktionswert handelt --, dann sind auch die Stellen x und y identisch. Also: Zu jedem Funktionswert gibt es höchstens eine einzige Stelle. Oder in anderer Richtung: Jede Stelle ist höchstens einem Funktionswert zugeordnet. Logisch kann man die Gleichwertigkeit mit der „Modus-tollens“-Schlussregel begründen: |
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02.12.2008, 14:09 | Karlson83 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey, vielen Dank. Ist vielleicht jetzt ein wenig doof, aber die beiden Definitionen sind doch deswegen äquivalent, weil sie jeweils besagen,dass jeden Stelle höchstens ein Wert ( oder sonst keiner) zugeordnet wird. Meinst du mit Stelle den x bzw y wert? |
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