Lotfußpunktverfahren mit Ebene

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gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »
Lotfußpunktverfahren mit Ebene
Hallo,


funktioniert dieses Verfahren genauso wie bei Abstand von Gerade zu Punkt.. wo man auch den Lotfußpunkt fällen muss??
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du genau machen? Und wo spielt sich der Vergleich mit der Geraden und dem Punkt ab, in R2 oder R3? Brauchst du nur den Abstand oder auch den Lotfußpunkt?

mY+
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich schreibe am Freitag einen Test über Ebenen und im Buch steht dazu eine Aufgabe. "Bestimmen sie den Abstand des Pktes P zur Ebene E mithilfe des Lotfußpunktverfahrens." Und gegeben ust

E: x+2y+2z=10 und P(4|6|6)

Wir hatten das Lotfußpunktverfahren nur bei Geradenabständen.

Eigentlich haben wir den Abstand jetzt von Ebene zu Punkt nur mit der hesseschen Form bestimmt.. brauche ich dieses Lotfußpktverfahren nur, wenn ich auch einen Lotfußpunkt suche?
Sonst kann ich es ja auch nur bei der HNF belassen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn nur der Abstand zu ermitteln ist, geht es mit der HNF bedeutend schneller:

d = (4 + 12 + 12 - 10)/3 = 6

Den Lotfußpunkt brauchst du dazu nicht, ausser er ist explizit auch noch zusätzlich verlangt.

mY+
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber der Lotfußpunkt hat doch auch was mit der HNF zu tun oder nicht?

Der Lehrer könnte mich auch nach dem fragen oder nicht?
Muss ich dann dieses LFPV machen oder kriege ich das auch per HNF raus?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die HNF liefert den Abstand. Wenn du diesen berechnet hast, kann er vom Punkt aus auf dem Normalvektor zur Ebene hin abgetragen werden. Dazu setzt man (in diesem Beispiel) das 6-fache (weil d = 6) des normierten Normalvektors

in P an. Die Richtung ist selbstverständlich so zu wählen, dass man zu einem Punkt der Ebene gelangt. Durch die besondere freundliche (angenehme) Angabe wird also zum Ortsvektor in P der Vektor zu addieren sein.

mY+
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

@ gugel

Wenn jedoch eh nach Abstand UND LFP gefragt ist würde ich direkt das Verfahren anwenden, damit berechnet man ja den LFP automatisch als Zwischenschritt und sonderlich aufwändig ist es ja auch nicht Augenzwinkern

Gruß Björn
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich jetzt nicht mYthos, also meinst du.. ich soll jetzt, wenn ich den Abstand mit der HNF berechne und anschließend der LFP gesucht ist..

dann nehme ich den Normalenvektor und rechne ihn * 1/(seinen Betrag)

Dann nehme ich den Punkt P und bilde seinen Ortsvektor und dann rechne ich Ortsvektor + Normalenvektor??

(das ist jetzt falsch, aber so habe ich es verstanden).

@björn, ich kann das aber nicht ://

also mache ich das LFPV so:

PARAMETERFORM AUS KOORDINATENFORM:

Dann: Der Lotfußpkt Q gehört zur Ebene E und hat die Koordinaten

Q (-t|2s+2t|-2s)

Der Vektor QP hat die Koordinaten


Es gilt QP steht senkrecht auf Richtungsvektor der E



Kommt raus 12-4s-4t-12-2s=0
-6s-4t=0


so jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter, weil wir hier danach dann in der Schule bei LFPV von Gerade zu Punkt dann den Parameter ausgerechnet haben und damit den Vektor QP bestimmen konnten und dann nur seinen Betrag gebildet haben .. und dann hatten wir den Abstand.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Also bitte, das LFPV:
Du musst die Normale durch P mit der Ebene schneiden. Wie lautet die (Parameter-)Gleichung dieser Normalen? (Deren Richtungsvektor ist der Normalvektor der Ebene).
Und die Ebene lasse doch bitte in der bereits gegebenen Normalform, das ist doch wesentlich angenehmer. Beim Schnitt der Normalen setzt du einfach zeilenweise die Parameterform der Normalen n die Ebenengleichung ein und berechnest den Wert des Parameters, fertig. Also los!

mY+
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, und was ist eine Normale?

Ich kenne das nur von Analysis, wo eine Normale senkrecht auf einer Tangenten steht.

Ich würde sagen

(4+t)+2(6+2t)+2(6+2t)=10

2+t+12+4t+12+4t=10

26+9t=10

9t=-16

t=-9/16
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Normale ist richtig. Aber das 2+t am Anfang der viertletzen Zeile ist falsch, demzufolge auch dein Resultat für t. t muss nämlich -2 sein. Wie kommt man dann auf den LFP?

mY+
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

oh .. verschrieben.

ich würde jetzt das t in die Normale einsetzen.. mehr kann man ja mit dem t nicht machen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mache das doch! Wie kommst du dann zu dem Abstand?

Zitat:
Original von gugelhupf
Okay, und was ist eine Normale?

Ich kenne das nur von Analysis, wo eine Normale senkrecht auf einer Tangenten steht.


P.S.: Dann mache dich schnellstens mit den Normalenbedingungen auch in R3 vertraut!!
Normal = Orthogonal

mY+
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist der LFP 2|2|2

Dann muss ich einen Vektor aufstellen von dem LFP und dem Punkt P und den Betrag dieses Vektors ausrechnen??

Der neue Vektor würde heißen PL = 4|6|6 - 2|2|2 = 2|4|4

Betrag: 4+16+16= 36 --> Betrag ist 6

6LE

So?

Das ist ja gar nicht komplizierter als die HNF, worin liegt denn der Vorteil der HNF?

Zitat:
P.S.: Dann mache dich schnellstens mit den Normalenbedingungen auch in R3 vertraut!!
Normal = Orthogonal


Okay mache ich.. heißt das auch so "Normalenbedingung"? In meinem Mathebuch gibt es so einen Begriff nicht im Stichwortverzeichnis.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das stimmt nun.
--------

Nochmals: Die HNF ist schneller, wenn man nur den Abstand zu berechnen hat!
--------

Bei den Stichworten suche eventuell unter

Normale
Normalvektor
Normalvektorform (der Ebenengleichung) - Koordinatenform
Normalabstand
Orthogonalität
Normalgerade
Normalebene
Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Gemeinlot (kürzester Abstand kreuzender Geraden)
Skalares Produkt (=0 bei orthogonalen Vektoren)
Winkel zweier Vektoren (cos-phi Formel)

mY+
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das mache ich dann. Danke :D
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