Exponentialgleichung?!

02.12.2008, 08:01

Doppelnull

Exponentialgleichung?!

Bei der hier komme ich auch nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} 5^{4-2x} + 3^{7-3x} = 5^{7-3x} - 3^{6-3x} \end{eqnarray*}$

Ich habe dann im ersten Schritt die gleichen Basen auf die selbe Seite genommen

$\begin{eqnarray*} 5^{4-2x} - 5^{7-3x} = - 3^{6-3x} - 3^{7-3x} \end{eqnarray*}$

Bei gleichen Basen darf ich die Potenzen zusammen rechnen.

$\begin{eqnarray*} 5^{4-2x-7-3x} = - 3^{6-3x-7-3x} \end{eqnarray*}$

Macht dann..

$\begin{eqnarray*} 5^{-3-5x} = - 3^{-1-6x} \end{eqnarray*}$

und nu? Logarithmieren?

$\begin{eqnarray*} {-3-5x} log 5 = {-1-6x} log 3 \end{eqnarray*}$

geteilt durch log 3?

$\begin{eqnarray*} {-3-5x} x 1.465 = {-1-6x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich da jetzt noch weiter rechne kommt alles dabei raus, ausser das richtige Resultat. Wo liegt der Fehler???

02.12.2008, 09:20

klarsoweit

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RE: Exponentialgleichung?!

Zitat:

Original von Doppelnull
Bei gleichen Basen darf ich die Potenzen zusammen rechnen.

$\begin{eqnarray*} 5^{4-2x-7-3x} = - 3^{6-3x-7-3x} \end{eqnarray*}$

In dieser Form nur, wenn Potenzen multipliziert werden.

Zitat:

Original von Doppelnull
und nu? Logarithmieren?

$\begin{eqnarray*} {-3-5x} log 5 = {-1-6x} log 3 \end{eqnarray*}$

Geschweifte Klammern sind in Latex Sonderzeichen. Besser runde Klammern nehmen:
$\begin{eqnarray*} (-3-5x) log 5 = (-1-6x) log 3 \end{eqnarray*}$
(Wobei die Ausgangsgleichung schon zweifelhaft ist, siehe oben.)

Zitat:

Original von Doppelnull
geteilt durch log 3?

$\begin{eqnarray*} {-3-5x} x 1.465 = {-1-6x} \end{eqnarray*}$

Auch hier wieder runde Klammern, kein x als Multiplikationszeichen und die Frage, wie du auf die 1,465 gekommen bist.
$\begin{eqnarray*} (-3-5x) \cdot 1.465 = (-1-6x) \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 10:17

Doppelnull

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RE: Exponentialgleichung?!
Ach Mist, diese blöden Rechengesetzte.. Das erklärt natürlich einiges. In diesem Falle würde ich es mit ausklammern versuchen.

Zuerst also wieder gleiche Basen auf gleiche Seiten:

$\begin{eqnarray*} 5^{4-2x} - 5^{7-3x} = - 3^{6-3x} - 3^{7-3x} \end{eqnarray*}$

Ausklammer und in Brüche umschreiben.

$\begin{eqnarray*} \frac{5^4}{5^2x} \cdot (1 - \frac{5^3}{5^x} ) = \frac{3^6}{3^3x} \cdot (1 - 3) \end{eqnarray*}$

Und nun? Wie rechne ich mit den Brüchen weiter?

links würde es dann ja $\begin{eqnarray*} \frac{1458}{3^3x} \end{eqnarray*}$ geben, aber rechts?

Kann mir bitte jemand einen Tip geben? Ich stehe extremst auf dem Schlauch unglücklich

02.12.2008, 10:33

klarsoweit

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RE: Exponentialgleichung?!
Bevor wir da groß weiter rechnen, erstmal die Frage, ob das die Originalaufgabe ist und ob die Aufgabe nicht möglicherweise so lautet:

$\begin{eqnarray*} 5^{4-3x} + 3^{7-3x} = 5^{7-3x} - 3^{6-3x} \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 10:43

Doppelnull

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Ja, so lautet die Aufgabe.

Ist denn meine Grundannahme schon falsch Ausdrücke auf Grund der Basen zu sortieren?

02.12.2008, 10:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Doppelnull
Ja, so lautet die Aufgabe.

Ja, toll.

Ich rechne hier ne Stunde rum und dann stellt sich raus, daß du falsch abgeschrieben hast. böse

Zitat:

Original von Doppelnull
Ist denn meine Grundannahme schon falsch Ausdrücke auf Grund der Basen zu sortieren?

Falsch war das nicht, aber auch nicht hilfreich. Du mußt nur die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} 3^{3x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5^{3x} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

02.12.2008, 10:53

Doppelnull

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Stopp

Ich habe noch einmal das Aufgabenblatt herausgeholt, die Aufgabe lautet wie folgt (unter Garantie 100% richtig abgeschrieben, habs 3x überprüft)

$\begin{eqnarray*} 5^{4-2x} + 3^{7-3x} = 5^{5-2x} - 3^{6-3x} \end{eqnarray*}$

Tschuldigung, hab die kleinen Exponenten nicht richtig verglichen.. Hohe Monitorauflösungen haben nicht nur Vorteile.

02.12.2008, 10:59

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Das ist aber auch nicht die eingangs gepostete Aufgabe. geschockt

Wenn es jetzt dabei bleibt, mußt du eben die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} 3^{3x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5^{2x} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

02.12.2008, 11:17

Doppelnull

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Ja ich weiss, diese blöden Exponenten sind bei mir schlecht lesbar (CAD Zeichner = sehr hohe Auflösung = sehr kleine Exponenten mit diesem Latex).

Wenn ich das mache was du sagst bekomme ich

$\begin{eqnarray*} 3^{3x} \cdot (5^{4} - 5^{5} ) = 5^{2x} \cdot ( - 3^{7} - 3^{6} ) \end{eqnarray*}$

oder dann

$\begin{eqnarray*} 3^{3x} \cdot ( -2500 ) = 5^{2x} \cdot ( -2916 ) \end{eqnarray*}$

Bevor ich weiterrechne, stimmt das soweit?

02.12.2008, 11:23

klarsoweit

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Ja. Jetzt kannst du umformen:

$\begin{eqnarray*} 3^{3x} = (3^3)^x = 27^x \end{eqnarray*}$

Analog die $\begin{eqnarray*} 5^{2x} \end{eqnarray*}$ . Dividiere dann durch diesen Term sowie durch -2500.

02.12.2008, 11:46

Doppelnull

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Perfekt

Wenn ich jetzt rechne komme ich schlussendlich auf

$\begin{eqnarray*} 1.08^{x} = 1.166 \end{eqnarray*}$

was ich umschreiben kann in

log 1.166 (1.08) = x

Ich frage also meinen Taschenrechner und er sagt mir 1.996.

Wenn ich die Formel eintippe und nach x auflöse bekomme ich 2, ich denke das stimmt.

Super, danke dir!

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