Tageslängenberechnung |
| 02.12.2008, 11:18 | sh1ne | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Tageslängenberechnung Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Die Länge des Tages, d.h. die Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang verändert sich im Laufe eines Jahres. Im Jahr 2005 kann die Tageslänge in Freiburg näherungsweise durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden: f(x) = 461/ 120 sin (2pi/365(x-80) + 293/24 Dabei ist x die Nummer des Tages entsprechend folgender Tabelle ind f(x) ist die zugehörige Tageslänge in Stunden Datum / Tagesnummer 1. Jan 1 1.Febr. 32 1.März 60 1.April 91 1.Mai 121 1.Juni 152 1.Juli 182 1.August 213 1.September 244 1.Oktober 274 1.Nov 305 1.Dez 335 a) Bestimmen Sie jeweils das Datum der Tage des Jahres , an denen Tag-und Nachtgleiche herrscht. d.h. an denen der Tag 12 Stunden lang ist. b) Welcher ist der kürzeste und welcher der längste Tag des Jahres, wie lange sind diese tage c) Die Tageslänge lässt sich an vielen orten näherungsweise durch folgenden Funktionsterm beschreiben: f(x) = a * sin (2pi/365/x-b)+c In flensburg dauert der längste Tag 17h 19min der kürzeste Tag 7h 13min. Am 10.April beträgt dort die Tageslänge 13h50min. Bestimmen Sie die Werte a,b,c! Für a) habe ich bisher sin (2pi/365(x-80) mit z substituiert, dann nach z aufgelöst um dann mit der Umkehrfunktion x zu bekommen. Mein Ergebnis kann allerdings nicht richtig sein. Wo liegt mein Fehler bzw. stimmt mein Ansatz überhaupt? |
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| 02.12.2008, 13:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Deine Funktionen sind mißverständlich aufgeschrieben und werden deshalb nicht bearbeitet. Setze zur genauen Festlegung Klammern, und zwar dort, wo sie nötig sind! Eine ähnliche Aufgabe gab es auch schon: Berechnung der Tageslänge durch eine Funktion mY+ |
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| 03.12.2008, 13:03 | sh1ne | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also noch einmal: Die Länge des Tages, d.h. die Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang verändert sich im Laufe eines Jahres. Im Jahr 2005 kann die Tageslänge in Freiburg näherungsweise durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden: f(x) = 461/120* sin (2pi/365(x-80)) + 293/24 Dabei ist x die Nummer des Tages entsprechend folgender Tabelle ind f(x) ist die zugehörige Tageslänge in Stunden Datum / Tagesnummer 1. Jan 1 1.Febr. 32 1.März 60 1.April 91 1.Mai 121 1.Juni 152 1.Juli 182 1.August 213 1.September 244 1.Oktober 274 1.Nov 305 1.Dez 335 a) Bestimmen Sie jeweils das Datum der Tage des Jahres , an denen Tag-und Nachtgleiche herrscht. d.h. an denen der Tag 12 Stunden lang ist. b) Welcher ist der kürzeste und welcher der längste Tag des Jahres, wie lange sind diese tage c) Die Tageslänge lässt sich an vielen orten näherungsweise durch folgenden Funktionsterm beschreiben: f(x) = a * sin (2pi/365(x-b))+c In flensburg dauert der längste Tag 17h 19min der kürzeste Tag 7h 13min. Am 10.April beträgt dort die Tageslänge 13h50min. Bestimmen Sie die Werte a,b,c! Für a) habe ich bisher sin (2pi/365(x-80)) mit z substituiert, dann nach z aufgelöst um dann mit der Umkehrfunktion x zu bekommen. Mein Ergebnis kann allerdings nicht richtig sein. Wo liegt mein Fehler bzw. stimmt mein Ansatz überhaupt? |
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| 03.12.2008, 14:22 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
OK, jetzt ist die Funktion wenigstens richtig definiert [f(x) = (461/120)*sin((2*pi/365)*(x-80)) + 293/24]. Den Bruch ganz vorne und den ersten Faktor unter dem Sin solltest du zur Sicherheit auch einklammern. Davon können wir uns nun auch den Graphen ansehen. Mit der Substitution ist es richtig und es funktioniert auch. Was hast du denn für z bzw. für x herausbekommen? mY+ |
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| 03.12.2008, 15:47 | sh1ne | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für z habe ich z=-25/461 herausbekommen, für x x=-83,1518... Mich irritiert, dass das Ergebnis negativ ist, ansonsten scheint mir der 24. März eigentlich logisch Weil sin periodisch ist, kann ich zu x 365/2 addieren um den zweiten Tag zu bekommen. Das wäre dann der 23. September Kann ich das so machen? |
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| 03.12.2008, 17:23 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
z stimmt nicht ganz, deshalb ist auch x nicht richtig. Rechne mit ALLEN zur Verfügung stehenden Stellen und kürze NICHT ab! Es ist dann z = -0.05425655083, demgemäß ergibt sich für x = 76,85, d.s. rd. 77* Tage. Die Addition von 365/2 ist falsch und liegt auch nicht in der Periodizität des Sinus, denn dabei wäre erst die Addition von 365 Tagen richtig. Der Sinus besitzt jedoch zu einem Hauptwert auch noch einen Nebenwert. Deswegen ergibt sich auch noch ein Datum im September, welches du aber getrennt berechnen musst. Verwende dazu . [266 T]** * Das bringt das Datum 18. März. Allerdings ist astronomisch weder der 18. noch der 24. März richtig. Wie wir wissen, ist die Tag- und Nachtgleiche am 21. März. ** Mit dem zweiten Ergebnis (266 T) erreichen wir allerdings genau den 23. September, und das stimmt nun auch astronomisch. mY+ |
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| 03.12.2008, 19:04 | sh1ne | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jetzt habe auch ich das richtige Ergebnis für z und somit auch für x. Danke! Aber wie ich auf den zweiten Wert komme habe ich noch nicht verstanden, denn z ist dann bei mir größer 1 und arcsin somit nicht mehr anwendbar. |
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| 03.12.2008, 20:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
z ist ja ein Winkelargument, das kann beliebig groß sein; der Sinuswert ist jedoch sicher kleiner als 1, deswegen kriegst du in jedem Falle eine zweite Lösung für das Argument (z = 3,195849204; x = ... ). mY+ |
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| 07.12.2008, 17:27 | sh1ne | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich verstehe nicht, wie ich z resubstituieren soll, denn normalerweise mache ich das doch mit arcsin und dazu müsste z<1 sein. arcsin(z)= ((2pi/365)(x-80) Wie resubstituiere ich z dann um auf x zu kommen? |
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| 07.12.2008, 18:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aus 12 = (461/120) sin ((2pi/365(x-80)) + 293/24 wird mit z = 2pi/(365(x-80)) 12 = (461/120) sin (z) + 293/24 Wenn du nun nach sin(z) umstellst, muss dieser Wert kleiner als 1 sein, aber nicht z. Berechne also beide Lösungen für z (diese sind im Bogenmaß!) und dann kannst du aus z zu x resubstituieren. mY+ |
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| 10.12.2008, 18:03 | sh1ne | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mein Fehler lag wo anders, aber mittlerweile habe ich ihn gefunden. Vielen Dank für die Hilfe! Mein Lehrer meinte ich muss auch mit dem Taschenrechner rechnen können, anstatt zu substituieren, um Zeit zu sparen. Kann mir jemand sagen, wie das geht? |
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| 10.12.2008, 18:30 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Gleichung syntaktisch richtig (!) in den Rechner eingeben und auf "Lösen" (solve) nach x gehen. mY+ |
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| 10.12.2008, 20:38 | sh1ne | Auf diesen Beitrag antworten » |
In welchem Menü? |
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| 10.12.2008, 20:52 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Woher soll ich das wissen, ich habe deinen TR (Taschenrechner) nicht. Bei meinem TI-Programm (Derive) geht das halt so. Also musst du wissen, wie du deinen TR für das Lösen von Gleichungen zu bedienen hast. Jedenfalls müsste er (GTR?) imstande sein, solche Gleichungen zu lösen. mY+ |
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