Exponentialgleichung die zweite

02.12.2008, 13:33

Doppelnull

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Exponentialgleichung die zweite

böse

Ich häng schon wieder fest. Das ist Teufelszeug, ich stosse immer wieder auf Aufgaben wo ich komplett versage..

Es geht sich um folgendes:

$\begin{eqnarray*} 6^{x+1} - 7^{x} = 5 \cdot 6^{x} - 6^{x-1} \end{eqnarray*}$

Ich hab mir gedacht, ich nehm das $\begin{eqnarray*} - 7^{x} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} - 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite und forme die Exponenten um. Dann steht da:

$\begin{eqnarray*} 6^{x} \cdot 6 + \frac{6^{x}}{6} = 5 \cdot 6^{x} + 7^{x} \end{eqnarray*}$

Dann multipliziere ich mit 6 um den Bruch weg zu bekommen ,

$\begin{eqnarray*} 36^{x} \cdot 36 + 6^{x} = 30 \cdot 36^{x} + 42^{x} \end{eqnarray*}$

Teile fix durch $\begin{eqnarray*} 36^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 36 + 6^{x} = 30 \cdot + 42^{x} \end{eqnarray*}$

sortiere und rechne, um dann

$\begin{eqnarray*} 6 = 36^{x} \end{eqnarray*}$

zu bekommen. Was dann 0.5 gibt. Leider stimmt es nicht, das Resultat lautet 1.

böse

böse

Hammer

verwirrt

02.12.2008, 13:46

Bjoern1982

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Zitat:

Dann multipliziere ich mit 6 um den Bruch weg zu bekommen ,

$\begin{eqnarray*} 36^{x} \cdot 36 + 6^{x} = 30 \cdot 36^{x} + 42^{x} \end{eqnarray*}$

Hier läuft einiges schief, es gibt kein allgemeines Gesetz der Form a*b^x=(a*b)^x

02.12.2008, 14:00

Doppelnull

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Wie, wenn nicht durch Mulitiplikation, soll ich den Bruch denn wegbekommen? Oder liegt der Hund einfach in der falschen Anwendung der Multiplikation begraben?

02.12.2008, 14:08

mYthos

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RE: Exponentialgleichung die zweite
Multiplikation schon, aber richtig!

Bevor du das jedoch machst, solltest du eher zuerst nach Potenzen ordnen und ausklammern:

$\begin{eqnarray*} 6^{x+1} - 7^{x} = 5 \cdot 6^{x} - 6^{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6^{x+1} - 5 \cdot 6^{x} + 6^{x-1} = 7^{x} \end{eqnarray*}$

Nun aus den 6er-Potenzen den kleinsten Faktor ausklammern!

mY+

02.12.2008, 14:17

Doppelnull

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RE: Exponentialgleichung die zweite
Aha, jetzt hab ichs gesehen. Ich sollte definitiv wieder mehr schlafen.

Also so:

$\begin{eqnarray*} 6^{x} ( 6 - 5 + \frac{1}{6} ) = 7^{x} \end{eqnarray*}$

Klammer zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} 6^{x} ( 1\frac{1}{6} ) = 7^{x} \end{eqnarray*}$

mit 6 multiplizieren

$\begin{eqnarray*} 6\cdot 6^{x} ( 7 ) = 6\cdot 7^{x} \end{eqnarray*}$

..nö, da kommt nicht 1 bei raus.

edit:

mit 6 muss man garnicht multiplizieren!!!

wenn man $\begin{eqnarray*} ( 1\frac{1}{6} ) \end{eqnarray*}$ einfach rüber nimmt, also $\begin{eqnarray*} 7 / ( 1\frac{1}{6} ) \end{eqnarray*}$

bekommt man

$\begin{eqnarray*} 6^{x} = 6^{x} \end{eqnarray*}$

was nur 1 als Lösung zulässt. Super, danke dir!

02.12.2008, 14:25

mYthos

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$\begin{eqnarray*} 6^x \end{eqnarray*}$ ist nicht der kleinste Faktor, deswegen hast du dann einen Bruch in der Klammer, aber es geht trotzdem auch so. Nur hast du beim Multiplizieren wieder (denselben) Fehler gemacht, welcher dir einfach nicht mehr passieren dürfte, denn das gehört zu den ganz trivialen Regeln der Multiplikation!

(a.b).c ist NICHT gleich (ac).(bc)

Probiere dies doch mal für

(2.3).4 = ...

mY+

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02.12.2008, 14:28

Doppelnull

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Jaja, ich habs gemerkt. Normalerweise sollte mir das nicht passieren. Es ist nicht so dass ich mit allen Exponentialgleichungen auf Kriegsfuss stehe. Die meisten kann ich.. Dazu kommt bei mir chronische Müdigkeit, ich komm einfach nicht auf mehr als 5h Schlaf unter der Woche. Ich mach solche bescheuerten Fehler im Moment auch Reihenweise bei der Arbeit, aber ich kann da nix dran ändern.

Tausend Dank!

Edit: Aus reiner Neugier: was wäre denn der kleinste Faktor?

02.12.2008, 14:28

mYthos

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RE: Exponentialgleichung die zweite

Zitat:

Original von Doppelnull
...
wenn man $\begin{eqnarray*} ( 1\frac{1}{6} ) \end{eqnarray*}$ einfach rüber nimmt, also $\begin{eqnarray*} 7 / ( 1\frac{1}{6} ) \end{eqnarray*}$

bekommt man

$\begin{eqnarray*} 6^{x} = 6^{x} \end{eqnarray*}$

was nur 1 als Lösung zulässt. Super, danke dir!

Das entspricht in keiner Weise den Tatsachen! Erstens ist

$\begin{eqnarray*} 6^{x} = 6^{x} \end{eqnarray*}$

nicht das Resultat der Umformung, und zweitens lässt diese Gleichung jede Lösung zu!

mY+

02.12.2008, 14:33

Doppelnull

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Mist

02.12.2008, 14:37

mYthos

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Zitat:

Original von Doppelnull
...
Edit: Aus reiner Neugier: was wäre denn der kleinste Faktor?

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$

In der Klammer kann man dann zu 7 zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \cdot 7 = 7^{x} \end{eqnarray*}$

Nun durch 7 dividieren ...

mY+

02.12.2008, 14:40

Doppelnull

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} 6^x \end{eqnarray*}$ ist nicht der kleinste Faktor, deswegen hast du dann einen Bruch in der Klammer, aber es geht trotzdem auch so. Nur hast du beim Multiplizieren wieder (denselben) Fehler gemacht, welcher dir einfach nicht mehr passieren dürfte, denn das gehört zu den ganz trivialen Regeln der Multiplikation!

(a.b).c ist NICHT gleich (ac).(bc)

Probiere dies doch mal für

(2.3).4 = ...

mY+

(2.3).4 wären dann (6).4 = 24, soweit klar.

Ich weiss auch nicht warum ich bei diesen ))="*)=(" Gleichungen immer so dumme Fehler mache, ich weiss nur dass das aufhören muss böse

böse

02.12.2008, 14:47

mYthos

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Oder, wenn du das letztendlich ohne Klammer schreiben willst, darf immer nur ein Faktor multipliziert werden, also

(2 . 4) . 3 oder 2 . (3 . 4) = 8 . 3 = 2 . 12

2 . 3 . 4 = 24
__________________________________

Und funktioniert die Exp.Gl. jetzt?

mY+

02.12.2008, 14:52

Doppelnull

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Ich hab mich ja längst total blamiert, darum kann ich das jetzt auch noch fragen. Mir ist nicht klar, wie man von

$\begin{eqnarray*} 6^{x+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ ausklammert. $\begin{eqnarray*} 6^{x+1} \end{eqnarray*}$ kann ich ja umschreiben in $\begin{eqnarray*} 6^{x} \cdot 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ wären dann $\begin{eqnarray*} \frac{6^{x}}{6} \end{eqnarray*}$ . Wie kann ich das ausklammern?

Sorry wenn ich so blöde Fragen stelle, aber es ist mir wirklich nicht klar.

02.12.2008, 15:01

mYthos

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Die Fragen sind nicht blöd, solange du das nicht verstehst, müssen sie gestellt werden, denn sonst erlangst du nie Klarheit.

Beim Ausklammern wird immer durch den ausgeklammerten Faktor dividiert.

Also bei $\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} 6^{x+1} \end{eqnarray*}$ ist der Quotient (Exponenten subtrahieren!) $\begin{eqnarray*} \to 6^2 = 36 \end{eqnarray*}$ , weil der Exponent zu (x+1)-(x-1) = 2 wird.

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \cdot 6^2 = 6^{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \cdot 36 = 6^{x+1} \end{eqnarray*}$

mY+

02.12.2008, 15:19

Doppelnull

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Beim ausklammern dividieren klingt logisch, schliesslich sollte man das ja auch wieder zusammen multiplizieren können.
Ich versuch das jetzt gerade nach zu vollziehen.

Im Prinzip passiert folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{6^{x+1}}{6^{x-1}} \end{eqnarray*}$

da kann man die Potenzgesetzte anwenden, bei Division wäre das $\begin{eqnarray*} \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y} \end{eqnarray*}$ oder in meinem Fall $\begin{eqnarray*} \frac{6^{x+1}}{6^{x-1}} \end{eqnarray*}$

bzw dann eben

$\begin{eqnarray*} 6^{x+1-x+1} = 6^{2} \end{eqnarray*}$

Ich glaube, das habe ich soweit kapiert. Jetzt schau ich mir noch einmal diese ()/")(=)+ Gleichung an.

Tolles Board, mein Lehrer könnte sich von den Erklärungen hier mal was abgucken..

02.12.2008, 15:37

Doppelnull

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RE: Exponentialgleichung die zweite
$\begin{eqnarray*} 6^{x+1} - 5 \cdot 6^{x} + 6^{x-1} = 7^{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ ausklammere komme ich zu folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} ( 6^{2} - 5 \cdot 6^{-1} ) = 7^{x} \end{eqnarray*}$

Was habe ich nun wieder falsch gemacht?

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} 6^{x+1} \end{eqnarray*}$ ergiebt $\begin{eqnarray*} 6^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} 6^{x} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} 6^{-1} \end{eqnarray*}$

Hat noch jemand Lust mir zu helfen?

edit: Moment, jetzt muss ich mit 6 multiplizieren?!

02.12.2008, 15:48

klarsoweit

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RE: Exponentialgleichung die zweite

Zitat:

Original von Doppelnull
Hat noch jemand Lust mir zu helfen?

Nun mal langsam. Sind ja auch noch andere da, die Hilfe wollen.

Zitat:

Original von Doppelnull
$\begin{eqnarray*} 6^{x} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} 6^{-1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich deinen letzten Satz richtig verstehe, hast du selbst gemerkt, was da falsch ist.

Achtung: auf der linken Seite waren 3 Summanden. Nach dem Auklammern müssen also 3 Summanden in der Klammer stehen.

Tipp: leichter hast du es, wenn du die Gleichung erst mit 6 mutliplizierst und dann 6^x ausklammerst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2008, 15:55

Doppelnull

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Also nochmal:

Wenn ich von $\begin{eqnarray*} 6^{x} \end{eqnarray*}$ den Ausdruck $\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ ausklammer möchte, ergibt dies $\begin{eqnarray*} 6^{1} \end{eqnarray*}$

Denn

$\begin{eqnarray*} \frac{6^{x}}{6^{x-1}} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} 6^{x-x-(-1)} = 6^{1} \end{eqnarray*}$

Ok, Fehler gesehen Big Laugh

Big Laugh

02.12.2008, 15:58

Doppelnull

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Also so:

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} ( 6^{2} - 5 \cdot 6 ) = 7^{x} \end{eqnarray*}$

oder aber

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} ( 6 ) = 7^{x} \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 16:04

klarsoweit

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RE: Exponentialgleichung die zweite
Da fehlt noch was. Hast du diesen Satz gelesen:

Zitat:

Original von klarsoweit
Achtung: auf der linken Seite waren 3 Summanden. Nach dem Auklammern müssen also 3 Summanden in der Klammer stehen.

?

02.12.2008, 16:15

Doppelnull

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Mist

Für den ausgeklammerten Ausdruck $\begin{eqnarray*} 6^{x-1} \end{eqnarray*}$ muss ich NATÜRLICH noch eine 1 setzten.

Also so

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} ( 6^{2} - 5 \cdot 6 + 1 ) = 7^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} ( 6^{2} - 5 \cdot 6 + 1 ) = 7^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6^{x}}{6} (7) = 7^{x} \end{eqnarray*}$

edit: der letzte Schritt führte zu nix

02.12.2008, 16:29

Doppelnull

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Wenn ich das jetzt durch 7 dividiere führt das irgendwie ins nichts da ich dann einfach beidseitig einen Bruch habe..

$\begin{eqnarray*} \frac{6^{x}}{6} = \frac{7^{x}}{7} \end{eqnarray*}$

Abseids? Wie rechne ich nun weiter? Kürzen darf ich ja kaum *duck*

Wenn ich mit 6 und 7 multipliziere bin ich auch irgendwie nicht weiter..

umschreiben???

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} = 7^{x-1} \end{eqnarray*}$

dann hätte ich die selben Exponenten.. wenn ich nun $\begin{eqnarray*} 7^{x-1} \end{eqnarray*}$ erhalte ich

$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} - 7^{x-1} = 0 \end{eqnarray*}$

Nützt mir aber nichts.. unglücklich

unglücklich

02.12.2008, 16:38

Doppelnull

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Wenn ich das

$\begin{eqnarray*} \frac{6^{x}}{6} = \frac{7^{x}}{7} \end{eqnarray*}$

in den TI eingebe erhalte ich das richtige Resultat. Nur weis ich nicht wie es zu stande kommt.

02.12.2008, 17:16

mYthos

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$\begin{eqnarray*} 6^{x-1} = 7^{x-1} \end{eqnarray*}$

Das ist endlich richtig! Was folgt daraus für den Exponenten?
(Wann können bei unterschiedlichen Basen diese beiden Seiten nur gleich sein?)

Alternativ:

$\begin{eqnarray*} \frac{6^{x-1}}{7^{x-1}} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{6}{7})^{x-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Schreibe rechts die 1 als Potenz von $\begin{eqnarray*} \frac{6}{7} \end{eqnarray*}$ !
---------

Drittens könntest du die Gleichung auch durch Logarithmieren lösen.

mY+

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