Singularitäten bestimmen

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02.06.2004, 21:02	gretl007	Auf diesen Beitrag antworten »
Singularitäten bestimmen Hallo! Ich hab Probleme, die Singularitäten von 2 Aufgaben zu lösen - habs leider durchgestrichen zurückgekriegt und soll jetzt korrigieren, weiß aber nicht genau wie... Wäre super, wenn ihr mir Tipps geben könntet! 1. Bsp: $\begin{align} f(z)=\frac{z^2-\pi^2}{sin^2 z} \end{align}$ Ich habs mit L'Hopital versucht und komm auf Pole 1. Ordnung... stimmt das??? 2. Bsp: $\begin{align} \frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{z-2 \pi i} \end{align}$ Hier fehlt mir nur die Bestimmung von $\begin{align} 2\pi i \end{align}$ - Pol 1. Ordnung ist wohl falsch... hebbar? (wie zeig ich das?) Vielen Dank für eure Hilfe! lg gretl007
02.06.2004, 21:25	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider kenne ich mich mit Funktionentheorie nicht so richtig aus, hab ich immer nur halb gehört, aber bedenke dochmal, dass bei (b) auch exp(2\pi i)=1 ist; sieht also eher nach wesentlicher Singularität aus.. Oder? Bei der ersten ist vielleicht auch eine Rückführung auf die e-Fkt. sinnvoll ... Ist aber mehr intuitiv, als wirklich gewusst.... Liebe Grüße Mario
02.06.2004, 21:45	gretl007	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine schnelle Antwort! ad b): das hab ich eh auch bedacht, nur dachte ich $\begin{align} \frac{1}{0} - \frac{1}{0} = \infty - \infty = 0 \end{align}$ deutet eventuell auf hebbare Singularität hin. Weiß aber nicht, wie ich das exakt beweisen soll. ad a): ich hab versucht, zu berechnen ob $\begin{align} \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z) \end{align}$ existiert. weiß aber nicht, ob ich das richtig gemacht hab. lg claudia
02.06.2004, 21:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Aufgabe 1 Zunächst muß man wissen, daß alle Nullstellen der Sinusfunktion die Ordnung 1 haben. Für ganzzahliges k gilt also $\begin{align} \sin z \ = \ (z-k\pi) \cdot g_k(z) \end{align}$ wobei $\begin{align} g_k(z) \end{align}$ eine in einer Umgebung von $\begin{align} k\pi \end{align}$ nicht verschwindende holomorphe Funktion ist. Damit hat man das Folgende: $\begin{align} \frac{z^2-\pi^2}{\sin^2 z} \ = \ \frac{1}{$z-k\pi$^2} \cdot \frac{z^2-\pi^2}{g_k^2(z)} \end{align}$ Jetzt sei zunächst k von ±1 verschieden. Dann stellt der zweite Bruch rechts eine in einer Umgebung von $\begin{align} k\pi \end{align}$ nicht verschwindende holomorphe Funktion dar. Dies zeigt, daß $\begin{align} k\pi \end{align}$ ein Pol der Ordnung 2 ist. Jetzt sei k=1. Nach Anwendung der binomischen Formel kann man kürzen und erhält $\begin{align} \frac{z^2-\pi^2}{\sin^2 z} \ = \ \frac{1}{z-\pi} \cdot \frac{z+\pi}{g_1^2(z)} \end{align}$ . Wieder ist der zweite Bruch eine in einer Umgebung von $\begin{align} \pi \end{align}$ nicht verschwindende holomorphe Funktion. Also ist $\begin{align} \pi \end{align}$ ein Pol der Ordnung 1. Und ganz analog geht es für k=-1. Auch $\begin{align} -\pi \end{align}$ ist ein Pol der Ordnung 1.
02.06.2004, 22:06	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem \infty-\infty=0 schlag Dir am besten ein für allemal aus dem Kopf! x-2x, x-x, x-(x-1), 2x-x sind z.B. hervorragend als Lehrbeispiele geeignet.. (jeweils für x\rightarrow \infty versteht sich) Liebe Grüße Mario
02.06.2004, 22:07	gretl007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, danke für deine Antwort!!! Ist echt genial, hat mir sehr geholfen und ich kanns leicht nachvollziehen! Hast du vielleicht fürs andere Beispiel auch einen Tipp? lg gretl007
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02.06.2004, 22:09	gretl007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich ja nur so als "Idee" gemeint, dass die Funktion deshalb vielleicht an diesem Punkt definierbar sein könnte... lg gretl007
02.06.2004, 22:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
(e^z)-1 hat bei 0 eine Nullstelle der Ordnung 1 und wegen der Periodizität ebenso bei allen ganzzahligen Vielfachen von 2pi·i. Also kannst du ebenso wie bei der ersten Aufgabe (e^z)-1 = (z-k·2pi·i)gk(z) mit einer in einer Umgebung von k·2pi·i nicht verschwindenden holomorphen Funktion gk(z) schreiben. Du mußt dann die Fälle k=1 und k ungleich 1 unterscheiden. Den Rest überlasse ich dir.
02.06.2004, 22:33	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Du einen Link, wo man die Geschichte mit der Nullstelle 1.Ordnung von e^z-1 nachlesen kann? Ich hab grade was gefunden, wo man im Term 1/(...) die e-Fkt. durch die Reihe ersetzt und auf der anderen Seite die Laurentreihe als Ansatz schreibt. Koeffizienten- vergleich liefert dann die Geschichte mit dem Pol. DAbei wird aber a_n=0 (n\leq -2) zunächst zweckmäßig angenommen, wobei mir nicht ganz klar ist, wieso man das kann.... Jedenfalls ist mein erstes Statement falsch; wieder was gelernt, man sollte eben nicht mutmaßen, wenn man sich nicht auskennt... Liebe Grüße Mario P.S.: Wenn Du eine Begründung für die wohl konstruktiv gemeinte Annahme weißt, wäre mir auch schon geholfen...
02.06.2004, 22:41	gretl007	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle 1. Ordnung würd ich so zeigen: $\begin{align} f'(z)=e^z \Rightarrow f'(2\pi i)=1 \end{align}$ was meinem Skriptum nach genau die Defintion Nullstelle 1.Ordnung (Ordnung = das erste k, für das gilt: $\begin{align} f^{(k)}\neq 0 \end{align}$ ) lg gretl007
02.06.2004, 22:46	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt gut; das begründet auch die Annahme, und die oben beschriebene Manipulation dient wahrscheinlich nur zur Bestimmung des Residuums (oder der damalige Übungsleiter hat sich unnötigerweise einen Knoten in die Kreide gemacht ;-)). Vielen Dank, einen schönen Abend, liebe Grüße Mario
02.06.2004, 22:55	gretl007	Auf diesen Beitrag antworten »
Leopold: ich hab jetzt herumgerechnet und komm aber in beiden Fällen auf Pol 1. Ordnung - was ja lt. meiner Übungsleiterin für k=1 falsch, sonst richtig ist... Was überseh ich da? lg gretl007
02.06.2004, 23:13	gretl007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich hatte jetzt eine "Offenbarung"... bitte um Bestätigung obs stimmt! Hab $\begin{align} \frac{1}{e^z} \end{align}$ allgemein in Laurentreihe entwickelt (da Pol 1. Ordn nur ein negativer Summand), dann das Residuum ausgerechnet: $\begin{align} a_{-1}=1 \end{align}$ . Das kürzt sich aber mit $\begin{align} \frac{1}{z-2 \pi i} \end{align}$ weg, und daher bleibt eine Potenzreihe übrig = hebbare Singularität. danke für eure Hilfe! lg gretl007

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