Potenzreihen: Konvergenzradius

02.12.2008, 16:34

prinzschleifer

Potenzreihen: Konvergenzradius

Schönen guten Abend allerseits!

Ich hab mal wieder Probleme mit fundamentaler Mathematik smile

Also wir sollen den Konvergenzradius von folgender Potenzreihe bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0} \frac{1}{\sqrt{n+1}}x^n \end{eqnarray*}$

Mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich: $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$ .

So, nun hab ich folgende Formel angewendet:

$\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}. \end{eqnarray*}$

Nun betrachte ich erstmals folgenden Ausschnitt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n+1}}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{{(n+1)}^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \{(1+n)^{\frac{1}{2n}}\}^{-1} \end{eqnarray*}$

So wenn man sich jetzt den inneren Teil anschaut, sieht er ähnlich aus wie ein e Folgen derivat:

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Maple sagt mir, für den inneren Teil auch, dass es für n gegen unendlich gegen e konvergiert. Leider kann ich das nicht wirklich nachvollziehen.

Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich
$\begin{eqnarray*} \{(1+n)^{\frac{1}{2n}}\}^{-1} \end{eqnarray*}$ umschreiben kann, damit es ein wenig ersichtlicher wird.

Bin schon auf $\begin{eqnarray*} \{(\frac{n^2+n}{n})^{\frac{1}{2n}}\}^{-1} \end{eqnarray*}$ gekommen, dies hilft mir aber auch nicht weiter.

Vielen Dank für eure Hilfe!

02.12.2008, 16:39

WebFritzi

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Hier ist natürlich die Formel, die aus dem Quotientenkriterium resultiert, viel umgänglicher.

02.12.2008, 16:49

prinzschleifer

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Zitat:

Original von WebFritzi
Hier ist natürlich die Formel, die aus dem Quotientenkriterium resultiert, viel umgänglicher.

Ohja,
$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \rightarrow \infty} | \frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \rightarrow \infty} | \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}| = 1 \end{eqnarray*}$

Mhh, aber warum komm ich dann oben auf solche ein seltsames Ergebnis? Oder hat mich Maple einfach in die Irre geführt? böse

^^

Vielen Dank, ich werde sicherlich gleich weitere Fragen stellen!

02.12.2008, 17:32

prinzschleifer

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So, hier komm ich auch nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}x^{n^2} \end{eqnarray*}$

Das muss ich jetzt auf folgende Form bringen:

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}a_n \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$

Dazu Substituiere ich $\begin{eqnarray*} y:= n^2 \end{eqnarray*}$ und erhalte:

= $\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}x^{y} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ reinbringen, also

= $\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}a_n \cdot x^{y} \end{eqnarray*}$

Folgende Fallunterscheidung hab ich noch:

$\begin{eqnarray*} a_n = \end{eqnarray*}$
1 falls $\begin{eqnarray*} y = n^2 \end{eqnarray*}$
0 sonst

Was ich ausdrücken will ist das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dann 1 ist, wenn der Exponent eine Quadratzahl ist.

In diesem Fall wäre $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ ? Soll ich die Kriterien, die ich zu Verfügung habe für $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ durchfürhen? Sieht mir irgendwie zu einfach aus.

02.12.2008, 18:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Das muss ich jetzt auf folgende Form bringen:

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}a_n \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$

Wer verlangt das? verwirrt

Ich würde einfach das Wurzelkriterium drauf loslassen. Fertig.

02.12.2008, 18:04

prinzschleifer

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Die mir bekannten Kriterien verlangen von mir, dass ich ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ finde und dieses dann nutze um auf den Konvergenzradius zu kommen.

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}a_n \cdot x^{n^2} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ ist wäre also auch richtig? Mit der Einschränkung, dass es nur bei quadratischen Exponenten $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ gilt?

Diese Form $\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}a_n \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ brauche ich also gar nicht?!

Alles klaro :P

02.12.2008, 18:13

klarsoweit

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Deine Kriterien (welche das auch sein mögen) passen auf Reihen der Form $\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}a_n \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ .

Wenn diese nicht vorliegt und auch durch eine geschickte Substitution auch nicht erreicht werden kann, heißt es: back to the roots.
Also Quotienten- oder Wurzelkriterium oder anderes.

02.12.2008, 18:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn diese nicht vorliegt und auch durch eine geschickte Substitution auch nicht erreicht werden kann

Das geht aber hier. Formel von Cauchy-Hadamard führt dann auf den Konvergenzradius.

03.12.2008, 01:13

prinzschleifer

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Vielen, vielen dank!

So bin jetzt bei einer weiteren Aufgabe, bei der ich eure Hilfe mal wieder benötige:

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty _{n=1} \frac {n}{2^n}(-1)^{n^2} \end{eqnarray*}$

So, ich muss jetzt nachweisen, das die Reihe divergiert/konvergiert. Das Leibnitzkriterium soll mir hier helfen. Hoffentsichtlich ist, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Wie sieht es denn aber mit der Monotonie aus.

Zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2^n} \geq \frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Und ich hab keinen Ansatz wie ich das zeigen soll. Wenn ich $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ plotte, hat es ja sogar ein Extrema, was vermutet, dass sie nicht monoton fällt. Was für ein Kriterium kann ich den Anwenden?

Meine ursprüngliche Potenzreihe ist übrigens folgende:
$\begin{eqnarray*} \sum^\infty _{n=1} \frac{n}{2^n}x^{n^2} \end{eqnarray*}$

03.12.2008, 02:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Hoffentsichtlich

Ein schönes neues Wort. Augenzwinkern

03.12.2008, 08:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Und ich hab keinen Ansatz wie ich das zeigen soll. Wenn ich $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ plotte, hat es ja sogar ein Extrema, was vermutet, dass sie nicht monoton fällt. Was für ein Kriterium kann ich den Anwenden?

Nach wie vor das Leibnitzkriterium. Es reicht völlig, wenn die Folge ab einem n_0 monoton fällt.

Zitat:

Original von prinzschleifer
Meine ursprüngliche Potenzreihe ist übrigens folgende:
$\begin{eqnarray*} \sum^\infty _{n=1} \frac{n}{2^n}x^{n^2} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: das Wurzelkriterium hilft.

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