Grenzwert bestimmen

02.12.2008, 16:42

Svenja1986

Grenzwert bestimmen

Hier soll ich den Grenzwert bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \frac{ (1+\frac{2n}{3n^2+6})^\frac{n}{2}} {1+ \sqrt{4^n + 2^n} - \sqrt{4^n} } + 2^{ \left( 1+ \frac{2+\frac{(-1)^n}{n^2}}{n}\right)^{2n}} \end{eqnarray*}$

Hammer

Habe mal hiermit angefangen: $\begin{eqnarray*} (1+ \frac{2n}{3n^2+6}) ^\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3n^2+6} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0

Und dann $\begin{eqnarray*} 1^\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ gegen 1

Danach habe ich mir $\begin{eqnarray*} 1+ \sqrt{4^n + 2^n} - \sqrt{4^n} \end{eqnarray*}$ angeschaut.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4^n + 2^n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{4^n} \end{eqnarray*}$ konvergieren jeweils gegen unendlich.

Somit konvergiert $\begin{eqnarray*} \frac{ (1+\frac{2n}{3n^2+6})^\frac{n}{2}} {1+ \sqrt{4^n + 2^n} - \sqrt{4^n} } \end{eqnarray*}$ gegen 1.

Bei dem 2. Teil habe ich aber etwas Probleme:

$\begin{eqnarray*} 2^{ \left( 1+ \frac{2+\frac{(-1)^n}{n^2}}{n}\right)^{2n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0,

aber gegen was konvergiert dann $\begin{eqnarray*} \left( 1+ \frac{2}{n}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$ ?? verwirrt

02.12.2008, 17:32

tmo

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Svenja1986
$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3n^2+6} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0

stimmt zwar, aber das hier

Zitat:

Original von Svenja1986
Und dann $\begin{eqnarray*} 1^\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ gegen 1

ist ein Trugschluss.

Ich würde dieses Ding eher mal auf die bekannte Folge, die gegen e konvergiert, zurückführen.

Zitat:

Original von Svenja1986
Danach habe ich mir $\begin{eqnarray*} 1+ \sqrt{4^n + 2^n} - \sqrt{4^n} \end{eqnarray*}$ angeschaut.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4^n + 2^n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{4^n} \end{eqnarray*}$ konvergieren jeweils gegen unendlich.

autsch...wie kann etwas gegen unendlich konvergieren?

Wie immer bei solchen Folgen mit Differenzen von Wurzeln: So erweitern, dass man die dritte binomische Formel anwenden kann.

02.12.2008, 17:47

Svenja1986

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4^n + 2^n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{4^n} \end{eqnarray*}$ konvergieren jeweils gegen unendlich.
autsch...wie kann etwas gegen unendlich konvergieren?

Ist natürlich falsch ausgedrückt. Laufen nach unendlich.

Zitat:

Original von tmo
Wie immer bei solchen Folgen mit Differenzen von Wurzeln: So erweitern, dass man die dritte binomische Formel anwenden kann.

Aber was bringt das? verwirrt

02.12.2008, 17:52

tmo

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Svenja1986
Aber was bringt das? verwirrt

Das gilt es dann zu erkennen. Mache es doch einfach mal.

Fakt ist, dass deine Argumentation, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{4^n+2^n}-\sqrt{4^n} = 0 \end{eqnarray*}$ sei, falsch ist.

02.12.2008, 18:35

WebFritzi

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RE: Grenzwert bestimmen
Hier stand Mist...

02.12.2008, 19:44

Svenja1986

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RE: Grenzwert bestimmen
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4^n+2^n}-\sqrt{4^n}) \cdot (\sqrt{4^n+2^n}+\sqrt{4^n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4^n+2^n})^2 - (\sqrt{4^n})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^n+2^n - 4^n = 2^n \end{eqnarray*}$

2^n läuft nach unendlich. Was heißt das jetzt für den Zähler? verwirrt

02.12.2008, 19:46

WebFritzi

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Nichts, weil du gerade mit einem Term des Nenners rumgespielt hast.

02.12.2008, 20:07

Svenja1986

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Oh ja, natürlich Nenner Finger1

Da steht ja jetzt sozusagen $\begin{eqnarray*} 1 + \infty \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 23:31

tmo

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Svenja1986
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4^n+2^n}-\sqrt{4^n}) \cdot (\sqrt{4^n+2^n}+\sqrt{4^n}) \end{eqnarray*}$

Wenn du mit etwas multiplizierst, musst du natürlich auch wieder dividieren. Ich sagte doch "erweitern"

03.12.2008, 18:23

Svenja1986

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RE: Grenzwert bestimmen
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4^n+2^n}-\sqrt{4^n}) = \frac{4^n + 2^n - 4^n}{\sqrt{4^n+2^n}+\sqrt{4^n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4^n+2^n}-\sqrt{4^n}) \cdot (\sqrt{4^n+2^n}+\sqrt{4^n}) = 4^n + 2^n - 4^n = 2^n \end{eqnarray*}$

Das heißt immer Nenner steht dann jetzt:
$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{2^n}{\sqrt{4^n+2^n}+\sqrt{4^n}} \end{eqnarray*}$

Wie kann man jetzt davon den Grenzwert bestimmen? verwirrt

03.12.2008, 19:34

tmo

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Durch $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ kürzen wäre doch eine Maßnahme.

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