Steckbrief Aufgaben

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Cara Auf diesen Beitrag antworten »
Steckbrief Aufgaben
Hallöchen ich schon wieder Big Laugh

So mir sind noch so eine allgemeine Frage zu den Steckbrief aufgaben gekommen.. und ich wollte die Lösung meiner neuen Aufgabe hier rein schreiben damit vll. jemand schauen könnt obs richtig gemacht ist.

Die Frage:
1. Wenn ich eine ganz rationale Funktion 3. Grades habe, brauch ich doch mindestens 3 Bedingungen oder?

2. Und, was genau ist eine Ordinate?

3. Wenn ein Graph die x- Achse NUR berührt, dann hat er doch da eine doppelte Nullstelle oder?

Die Aufgabe:
Der Grapg einer ganz rationalen Funktion 3. Grades hat an der Stelle x=-1 eine Nullstelle. Er schneidet die y-Achse mit der Ordinate 2 und berührt die x-Achse an der Stalle x=2. Wie lautet der Funktionsterm?

Die Ansätze zur Lösung:

f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b

..an der Stelle x=-1 eine Nullstelle:
f(-1)=0
-> f(-1)=-a+b-c+d=0

..schneidet die y-Achse in der Ordinate 2:
f(0)=2
-> f(0)=d=2

berührt die x-Achse an der Stelle x=2:
f(2)=0
-> f(2)=8a+4b+2c+d(=2)=0

f'(2)=0
-> f'(2)=12a+4b+c=0

Und durch diese Bedingungen weiß ich ja schon einmal, dass
d=2 ist.
Und jetzt muss ich doch mit den Gleichungen
-> f(0)=d=2 (meine Lehrerin meinte das müsste man beim Additionsverfahren immer dazuschreiben, wieso??)
-> f(-1)=-a+b-c+d=0
-> f(2)=8a+4b+2c+d(=2)=0
-> f'(2)=12a+4b+c=0

Brauch man bei einer Funktion 3 Grades immer so 4 Gleichungen?
Und bei einer Funktion 4. Grades dann 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten?

Ich bedanke mich schon einmal im vorraus und hoffe das ich alles verständlich geschrieben habe..
Nurije Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

also du brauchst auf jeden Fall bei einer Gleichung x-ten Grades immer eine Bedingung mehr...bei einer Funktion dritten Grades also vier Bedingungen!

Der Rest ist meiner Meinung nach korrekt!
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steckbrief Aufgaben
Zitat:
Original von Cara
1. Wenn ich eine ganz rationale Funktion 3. Grades habe, brauch ich doch mindestens 3 Bedingungen oder?


, also mind. 4 Bedingungen, da 4 Unbekannte.

Zitat:
2. Und, was genau ist eine Ordinate?

Die y-Achse oder der y-Wert.

Zitat:
3. Wenn ein Graph die x- Achse NUR berührt, dann hat er doch da eine doppelte Nullstelle oder?


Das bedeutet: und . Gegenbeispiel: hat bei eine 4-fache Nullstelle Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steckbrief Aufgaben
Zitat:
Original von Cara
2. Und, was genau ist eine Ordinate?

Das "Längenstück", das auf der y-Achse gemessen wird.

Zitat:
Original von Cara
3. Wenn ein Graph die x- Achse NUR berührt, dann hat er doch da eine doppelte Nullstelle oder?

Ja. Die Steigung ist da gleich Null.
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

danke

so mir ist hier mit dem additionsverfahren irgendwas schief gegangen..
denn wenn ich meine werte für a,b und c in eine ausgangsgleichung einsetzte kommt da nocht das gewünschte 0=0 raus..

(d=0)
1. -a+b-c+2=0 /*8
2. 8a+4b+2c+2=0
3. 12a+4b+c=0

1.+2.:
-8a+8b-8c+16=0
8a+4b+2c+2=0
(die beiden gleichungen addieren)
=12b-6c+18=0 (4.)

1.+3.:
-12a+12b-12c+24=0
12a+4b+c=0
(beide addieren)
= 16b-11c+24=0 (5.)

5.-4.:
48b-18c+54=0
48b-33c+72=0
(beide substrahieren)
= 15c-18=0
c=18/15 = 1,2

48b-18*(18/15)+54=0
b= -27/40 = -0,675

-a - 27/40 - 18/15 + 2 = 0 /*(-1)
= a+27/40+18/15-2=0
a= -91/40 = 2,275

wenn ich die werte jetzt in -a+b-c+2=0 einsetze
kommt da nicht 0=0 raus -.-
finde den fehler abern icht
Ria Auf diesen Beitrag antworten »

hallo^^

1. nein, du brauchst mind. 4 bedingungen, weil du 4 koeffizienten berechnen musst, also die faktoren vor der variable x^^

2. die ordinate ist die stelle oder der wert auf der y-achse und die abszisse ist ebenso der wert auf der x-achse^^

3. ja, dann hat sie an der stelle eine doppelte nullstelle, kann aber an anderen stellen, bei funktionen höheren grades, an anderen stellen die x-achse schneiden (ist aber nicht immer so^^)

bei einem linearem gleichungssystem (LGS) in der anaytischen geometrie musst du das nicht unbedingt schreiben, ist aber besser für die übersicht und du wißt genau, welche werte du einsetzen kannst. generell muss man werte, die für ein LGS nötig sind mit in die berechnungen mit aufnehmen (wenn ich mich jetzt widerspreche, tut mir das leid, aber sie hat irgendwie recht^^°)

das ist richtig... je höher der grad der funktion, desto mehr variablen können vorkommen und umso mehr gleichungen musst du durch die LGS-Verfahren lösen...

achja... deine ansätze sind gut... du hast das imgrunde verstanden, musst nur an der lösungsfindung arbeiten...^^ hast du den funktionsterm schon berechnet?
Denjell Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cara
5.-4.:
48b-18c+54=0
48b-33c+72=0
(beide substrahieren)
= 15c-18=0
c=18/15 = 1,2

da wirds falsch
gleichung 4 muss mal 4 genommen werden dann sinds:
48b-24c+72=0
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal dankeschön smile

den funktionsterm hab ich noch nicht..
weil bei meinem additionsverfahren ja irgendwie was falsch gelaufen sein muss..
weil das was cih für a,b,c raus hab kann ja nicht stimmen.. nur find ich den fehler halt nicht

aber wie du ja auch schon sagtest sind die ansätze ja richtig, also müsste es reintheoretisch an der rechnung liegen oder?
und das d=2 ist, ist ja auch richtig, stimmts?

EDIT:
Ops, jetzt seh ichs auch
danke Denjell Mit Zunge
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hab ichs raus
a= -1/8
b=-1/8
c=2

daanke Augenzwinkern

funktionsterm also:
-1/8x³-1/8x²+2x+2

EDIT:

aber irgendwie...
wenn ich die varibalen jetzt in diese 3 gleichungen einsetzte

-> f(-1)=-a+b-c+d=0
-> f(2)=8a+4b+2c+d(=2)=0
-> f'(2)=12a+4b+c=0

müsste doch überall 0=0 rauskommen oder?
bei der 2. kommt nach einsetzen aber nich 0=0 raus -.-
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir nicht bitte nochmal jemand helfen unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Also du hast dich wohl irgendwo beim Einsetzen verrechnet.

Ich bekomme a=0,5 b=-1,5 und c=0 heraus

Du musst ja diese beiden Gleichungen voneinander abziehen:

48b-33c+72=0
48b-24c+72=0

Dann erhält man ja schon mal für c=...

Gruß Björn
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommt das denn zu stande?
das hab ich ja gar nicht raus
und bei der c=2 war ich mir sogar noch 100% sicher dass das richtig ist?!?

ich hab voneinander abgezogen:

48b-24c+54=0
48b-33c+72=0
= 9c-18=0
c=2

wieso hast du das andersrum=
und vor allem anstatt 54, 72?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Guck nochmal oben, hab gerade noch was editiert smile
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habe auch noch mal editiert Augenzwinkern
bitte gucken^^
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

ok
das mit dem 72 hat sich geklärt
hab das mit dem multipliziere mit 3 bzw 4 irgendwie vertauscht...

aber wieso ziehst du die -24 von den -33 ab und nicht andersrum?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Denjell hatte dir ja den Hinweis gegeben, dass du dich da beim Multiplizieren mit 4 verrechnet hattest.

Wenn du 12b-6c+18=0 mit 4 multiplizierst kommt eben 48b-24c+72=0 raus.

Zitat:
aber wieso ziehst du die -24 von den -33 ab und nicht andersrum?


Ist in diesem Fall ja egal, weil eh c=0 rauskommt Augenzwinkern
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.. hab ich gerade rausgefunden, jetzt komme ich auch auf deine ergebnisse..
hatte gedacht ich hätte mich da nur mit der 24 verrechnet..
aber hab das auch wirklich nciht von selbst gesehen =/

naja jetzt hab ich das wenigstens alles fertig.
Aber jetzt hab ich noch ein Problem bei der nächsten Aufgabe..
das haben wir noch nicht irgendwie gehabt

Der Grapf eienr Funktion 3. Grades berührt die x-Achse bei x=4 und besitzt im WP (3/yw) eine Tangente parallel zur Geraden x+y+4=0
Funktionsgleichung?

Also wahrscheinlich brauch ich doch auch die Tangentengleichung oder?
und auf jedenfall

F(3)=yw = 27a+9b+3c+d=yw

und irgendwas mit der 1. Ableitung und der Steigung evt.?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, also 3 Gleichungen kriegst du bestimmt schon mal hin.

Die 4. Gleichung ergibt sich dann aus der zur Geraden x+y+4=0 parallelen Tangente.

Also eine Tangente ist ja nichts anderes als eine Gerade, hat also die Funktionsvorschrift m*x+b

Interessant ist jetzt nur die Steigung dieser Geraden (Stichwort Parallel) - warum wohl ?

Wenn du nicht selbst drauf kommst helfe ich gerne noch ein wenig smile

Gruß Björn
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ja also 3 Gleichungen hab ich schon stimmt..
aber nur zwei kann ich davon "gebrauchen"

F(4)=0
=64a+16b+4c+d=0

F'(4)=0
=48a+8b+c=0

f(3)=Yw
=27a+9b+3c+d=Yw (aber die kann ich ja nicht gebrauchen, stimmts?)

Und jetzt wo du gerade das parallel in zusammenhang mit der Steigung ansprichst Big Laugh
m=0
Aber dann weiß ich ja trotzdem nicht was y und b sind?
X fällt a durchs m auch automatisch weg..
und die Verbindung zwischen der geraden (x+y+4=0) und der Tangente ist mir auch noch nciht so klar
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine ersten beiden Gleichungen sind schonmal richtig Freude

Als nächstes muss man hieraus eine Gleichung machen:

Zitat:
besitzt im WP (3/yw)


Stichwort: Notwendige Bedingung für Wendepunkte

F(3) aufzustellen bringt leider hier wieder nichts, weil ja nicht der ganze Wendepunkt gegeben ist (y-Koordinate fehlt).
Merk dir das am besten, immer wenn die y-Koordinate fehlt geht schonmal nichts mit f(...)=... - immer nur dann wenn der vollständige Punkt gegeben ist.

Also, kommst du jetzt auf die 3. Gleichung?
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

äähm

f(3)=Yw

und f''(3)=0
und meine 3. gleichung ist dann halt
f''(3)=18a+2b=0

danke für den kleinen tipp Augenzwinkern


na gut das ist ja jetzt auch noch das kleinere übel.. das mit der gerade und tangente macht mir zu schaffen
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Fehlt jetzt also nur noch die 4. Gleichung.

Diese folgt hieraus:

Zitat:
im WP (3/yw) eine Tangente parallel zur Geraden x+y+4=0


Man weiss jetzt also nicht nur dass an der Stelle x=3 ein Wendepunkt vorliegt, sondern auch noch, dass an der Stelle x=3 eine Tangente ist, welche parallel zur Geraden x+y+4=0 ist.

Was haben denn zwei parallele Geraden gemeinsam?
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlcih nur die steigung oder?
denn die x und y werte müssen ja unterschiedlich sein wenn die geraden parallel sind..
und das b kann ja auch nicht das selbe sein... kann sich ja nichts kreuzen irgendwie wenn es parallel ist
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
eigentlcih nur die steigung oder?


Perfekt, das wollt ich hören.

So, das bedeutet doch jetzt folgendes:

Wenn wir die Steigung der gegebenen Geraden wüssten, dann wüssten wir ja auch die Steigung der Tangente an der Stelle x=3 - soweit klar ?

Wenn ja, versuch doch mal die Gleichung y+x+4=0 nach y aufzulösen, um dadurch an dieser Form y=m*x+b die Steigung m abzulesen.
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

aber wieso die steigung m ablesen..
ich dachte die sind parallel zueinander und haben somit keine steigung also bzw die steigung 0?

x+y+4=0

y=-x-4
ist 4 dann mein y-achsenabschnitt?

aber ich hab jetzt grad nochmal nachgedacht..
die tangente ist zwar parallel zu der geraden..
aber die gerade kann doch auch irgendwie "schräg" sein (also nicht parallel zur x-achse) und somit hätte sie doch eine steigung und dann doch auch die tangente?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich dachte die sind parallel zueinander und haben somit keine steigung also bzw die steigung 0?


Versteh ich jetzt nicht, also parallele Geraden haben immer dieselbe Steigung, haben also dieselbe Richtung (wie auch immer orientiert)

Eine Gerade hat nur dann die Steigung null wenn sie parallel zur x-Achse verläuft.

Zitat:
ist 4 dann mein y-achsenabschnitt?


Eher - 4 - aber der interessiert hier ja nicht, wichtig ist hier nur die Steigung der Geraden , und die lautet ...

Zitat:
aber die gerade kann doch auch irgendwie "schräg" sein (also nicht parallel zur x-achse) und somit hätte sie doch eine steigung und dann doch auch die tangente?


Absolut richtig, man kann in jedem Punkt eines Graphen eine Tangente anlegen, welche eigentlich nur dann die Steigung null besitzt, wenn ein Extrempunkt (oder Sattelpunkt) vorliegt.

Ists jetzt klarer oder hab ich dich falsch verstanden?
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

hm.. also so wie du schreibst müsste es ja jetzt auf der hand liegen wie die steigung lautet..
aber um erlich zu sein .. weiß ichs nicht..
wenn ich jetzt 0 sage, was ich wohl als erstes sagen wüde.. dann wiederspreche ich mir ja selbst irgendwie, weil ich ja gerade noch geschrieben habe, dass wir ja nicht wissen wie die gerade liegt nur das die tangente parallel zu ihr ist...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Gerade nach y aufgelöst ist ja:

y=-1*x-4

Nach m*x+b folgt ja dann, dass der y-Achsenabschnitt -4 ist und die Steigung m dieser Geaden folglich -1 ist.

Wie gesagt, man muss sich jetzt gar nicht so genau vorstellen, wie die Gerade jetzt aussieht (wobei ich dir zur Verdeutlichung auch gerne eine Skizze machen kann), der springende Punkt ist eben, dass diese gegebene Gerade und die Tangente an der Stelle x=3 dieselbe Steigung, also -1 haben.

Wenn du dich ein paar Tage zurückerinnerst hattest du da mal folgendes geschrieben : Erste Ableitung gibt die Steigung an einer bestimmten Stelle des Graphen von f an - notier ich mir (oder so ähnlich Augenzwinkern )

Es gilt also: An der Stelle x=3 hat der Graph von f die Steigung -1

Wie lautet also jetzt das ganze mathematisch als Gleichung ?
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

Hm.. -1 also..
ja gut da hab ich jetzt wirklich zugegebenermaßen nicht dran gedacht.. hab da vorher kein m in der gleichung gesehen udn bin irgendwie davon ausgegangen das es da keins gibt.. na auch egal jetzt..

das die 1. Ableitung die Steigung angibt hab ich auch nicht vergessen, nur nicht so mit in den zusammenhang jetzt gezogen...
aber dann lautet die ganze mathematische gleichung:

f(3)=-1 => 27a+9b+3c+d=-1
und
f''(3)=0 => 18a+2b=0

jetzt richtig?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht.

Wir brauchen doch jetzt nur noch eine Gleichung...

Nochmal ein Beispiel:

An der Stelle x=2 liegt ein Hochpunkt vor.
Das bedeutet, dass an der Stelle x=2 eine waagerechte Tangente vorliegt, welche die Steigung null hat - eben weil sie waagerecht, sprich parallel zur x-Achse ist. => f ' (2) = 0

Hier wissen wir jetzt:

An der Stelle x=3 liegt ein Wendepunkt, in dem eine Tangente verläuft, welche die Steigung -1 hat.
Oder anders ausgedrückt, der Graph hat an der Stelle x=3 die Steigung -1.
Nur wenn man es ganz genau schriebt, meint man mit "hat der Graph die Steigung -1" dasselbe wie "hat der Graph die Tangentensteigung -1".

=> f ' (3) = -1

Edit:

Deine zweite Gleichung stimmt natürlich smile
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

also irgendwie evrsteh ich jetzt nciht wo du das x=2 an dem ein hochpunkt liegen soll her hast
und wofür ist das mit dem hochpunkt relevant?

zum 2. Teil:

Ich hab gerade gemerkt das ich mich da bissl vertan habe, das war nun auch wirklich ein doofer fehler.. sage gerade noch dass die 1. ableitung die steigung angibt und setzte in die normale funktion ein..
tschuldigung

also f'(3)=-1 => 27a+6b+c

und die zweite ableitung benötige ich dafür gar nicht?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und wofür ist das mit dem hochpunkt relevant?


Das sollte auch nur nochmal ein Beispiel zur Verdeutlichung sein - völlig unabhängig von der Aufgabe. Hat wohl eher mehr zur Verwirrung beigetragen - sorry geschockt

Zitat:
also f'(3)=-1 => 27a+6b+c


Stimmt, nur nicht das -1 auf der anderen Seite vergessen Augenzwinkern
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo.. ops hab ich jetzt ncith so auf anhieb gesehen..

hm.. aber wieso jetzt nochmal bitte genau nur die 1. ableitung und nicht noch den tei mit der 2. ableitung wie ichs vorhin gepostet hab?

Und jetzt muss ich doch dann nur noch mit hilfe der 4 gleichungen die variabeln errechnen, oder?
mehr war ja nicht gefragt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Ableitung spielt immer dann eine Rolle wenn es um Wendepukte geht. Das hatten wir ja mit f ''(3)= 0 abgehakt und ist unsere dritte Gleichung.

Die erste Ableitung benutzen wir deshalb, weil wir ja zusätzlich noch die Information haben, dass in diesem Wendepunkte - also an der Stelle x=3 - die Steigung -1 vorliegt. Deshalb erste Ableitung - wegen Steigung.

Jetzt ok?
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

Ja jetzt ok..

und jetzt nur noch einmal der übersichtshalber..

1. 48a+8b+c=0
2. 27a+6b+c=-1
3. 64a+16b+4c+d=0
4. 18a+2b=0

a hab ich schonmal raus
a= - 1/3

die anderen ergebnisse werde ich mal vorsichtshalber gleich posten ok?
ich weiß ja inzwsichen das ich mich gerne mal verrechne..

aber schonmal dankeschön.
ich hab immer das gefühl nach einer aufgabe endlich alles verstanden zu haben und bei der nächsten versteh ich doch wieder irgendwas nicht.. =/
tut mir leuid

EDIT:

a= -1/3
b= -4
c= 14
d = 40/3
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Für a hab ich schonmal dasselbe raus.

Mal sehen was du noch für die anderen Variablen raushast.

Und verlier nicht den Mut - die Übung machts.
Je mehr Aufgaben du dazu machst, umso mehr Routine bekommst du.

Du solltest dir vielleicht mal eine Liste machen, die dir allgemein verdeutlicht, aus welcher Formulierung welche Gleichung entsteht.
Helfe dir auch gerne dabei.

Also z.B.

Der Graph von f scheidet die x-Achse an der Stelle x=a -->f(a)=0
Der Graph von f hat in P(2/5) einen Hochpunkt --> f(2)=5 und f ' (2)= 0
usw.

Edit:

Hab was anderes raus - nämlich b=-3 c=8, und d=-16/3
Hab allerdings noch nicht die Probe gemacht - kann mich auch verrechnet haben...ich schau nochmal nach.

Gruß Björn
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dann ist a wenigstens schonmal richtig..
aber wenn ich durch einsetzen jetzt die probe mache, merke ich das irgendeine andere zahl wieder falsch sein muss =/
aber wenn ich alles nochmal durchgucke entdecke ich nie was..

Ja daran hab ich auch schon gedacht, und hab auch schon angefangen so ein paar sachen.. die selbst ich jetzt spontan wusste aufzuschreiben..

Ich hab bis jetzt:

.. verläuft durch den Punkt (2/6 => f(2)=6
.. hat eine Nulstelle bei x=9 => f(9)=0
.. schneidet die y-Achse bei 3 => f(0)=3
.. berührt die x-Achse an x=5 => f(5)=0 und f'(5)=0
.. hat einen Wendepunkt bei P(-1/2) => f(-1)=2 und f''(-1)=0

EDIT:
für b hab ich jetzt auch =3 raus, habe aber auch jetzt eine andere Gleichung als gerade genommen.. naja werd mich wohl doch nur mal wieder verrechnet haben,

dankeschön

EDIT 2:
für c hab ich jetzt auch dein ergebnis raus, aber bei d hab ich imme rnoch was anderes,, =/
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die Probe gemacht, die Werte müssten also stimmen.

Hoffentlich kommst du auch drauf.

Meiner Meinung nach ist die Additionsmethode machmal etwas aufwändig und fehleranfällig - hier würde sich auch wieder die Einsetzungsmethode anbieten, wodurch man eigentlich ruck zuck auf die Lösung kommt und in meinen Augen weniger in Geahr läuft sich zu verrechnen.

Ist aber subjektiv - wenn du die Additionsmethode schon so verinnerlicht hast, machs ruhig so weiter - is ja nicht falsch Augenzwinkern

Edit:

64/3-48+32+d=0

<=> (64-144+96)/3+d=0

<=> 16/3+d=0

<=> d= - 16/3
Cara Auf diesen Beitrag antworten »

hmm..

also ich hab ja
a=-1/3
b=3
c=8

wenn ich die jetzt in die Gleichung mit dem d einsetze

64*(-1/3)+16*(3)+4*(8)+d=0
-64/3 + 48 + 32 + d =0
d= -176/3
und das geht ja nicht.. o.O
überseh ich schon wieder irgendwas...


jaa ich wollt auch eigentlich noch mal andere methoden probieren, sprich einsetz oder gleichsetz verfahren...
und dann schauen was mir am besten liegt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach verdammt, jetzt komm ich auch schon mit den Vorzeichen durcheinander.

Für a hatte ich natürlich +1/3 raus

Entschuldige
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