Iterationsfkt

02.12.2008, 17:38

hxh

Iterationsfkt

Hi
ich habe folgende Iterationsfkt x_0 > 0

$\begin{eqnarray*} I(x)=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3x^2} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die Fixpunkte bestimmen will, dann muss doch $\begin{eqnarray*} I(x*)=x* \end{eqnarray*}$

also quasi $\begin{eqnarray*} I(x*)-x*=0 \end{eqnarray*}$

muss ich nun alle Fixpunkte angeben oder nur die für x_0 > 0 , weil da gäbe es nur einen

02.12.2008, 17:42

tigerbine

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RE: Iterationsfkt
Nur weil der Startwert größer 0 ist muss nicht generell die Folge nur positive Werte haben.

Du könntest nun zeigen, dass mit dem Startwert >0 alle Folgenglieder positiv sind. Wie wolltest du den Fixpunkt bestimmen? Banach oder alternativ Nullstelle mit Newton?

02.12.2008, 17:50

hxh

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eigentlich dachte ich erst an banach , aber kann ich hier nicht einfach ausrechnen?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}x + \frac{5}{3x^2} -x = 0 \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 17:53

tigerbine

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Eben stand da noch x³, oder?

Du kannst, wenn möglich sicherlich den Fixpunkt der Iterationsfuntkion berechen. Das sichert aber nicht, dass die Iterationsfolge auch gegen diesen konvergiert, falls das gefragt sein sollte. Augenzwinkern

02.12.2008, 18:07

hxh

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ups ja im ersten Beitrag ist da was durcheinander gekommen Hammer

Dass die Folge konvergiert , dass muss ich da noch nicht zeigen, das kommt dann später dran. Sollte ich eigentlich hinbekommen.
Es ging erstmal nur darum , alle Fixpunkte zu bestimmen. Wobei mich verwundert, dass ich nur 5^(1/3) rausbekomme , es sollten wohl noch komplexe dabei sein.

02.12.2008, 18:35

tigerbine

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Kommt drauf an, wie du die relle Lösung gefunden hast. Augenzwinkern

02.12.2008, 19:47

tigerbine

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RE: Iterationsfkt

Leider in Klausuren nicht möglich, aber warum sollte man sich nicht mit einem Plot behelfen? IR ist ein Bannachraum, [1.5,2] ein kompaktes Intervall Augenzwinkern

Die GRafik sieht vielversprechend aus für Selbstabbildung und Kontraktion.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}x^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2}{3} - \frac{10}{3}x^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2}{3} - \frac{10}{3}x^{-3} \Leftrightarrow \frac{10}{3} = \frac{2}{3}x^3 \Leftrightarrow 5 = x^3 \end{eqnarray*}$

Man kann nun noch mit mit >,< argumentieren. Es ergibt sich dann auf alle Fälle ein anziehender Fixpunkt.

$\begin{eqnarray*} f'(1.5) \approx -0.32,~f'(2)=0.25 \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:

Fixpunkt Berechnung mit Banach
 
Intervallgrenzen [a,b] eingeben: [1.5,2]
 
Startwert eingeben.                  x0 = 2
Genauigkeit eingeben.               eps = 0.001
Kontraktionskonstante eingebeben. kappa = 0.33
N =
     6
 
Index    Funktionswert    a-posteriori
=======================================
  1        2.000000       100.000000 
  2        1.750000       0.123134 
  3        1.710884       0.019266 
  4        1.709976       0.000447

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