Beweis: Stetige Bilder von kompakten Mengen sind Kompakt

02.12.2008, 17:56

rajsato

Beweis: Stetige Bilder von kompakten Mengen sind Kompakt

Hallo, bemühe mich grade um folgenden Beweis

Beweis: Stetige Bilder von kompakten Mengen sind Kompakt

Sei I eine Teilmenge von R, kompakt - also abgeschlossen und beschränkt. Sei f: I --> R stetig.

Behauptung: Dann ist f(I) kompakt.

Okay erstmal zu dem was gegeben ist:

abgeschlossen und beschränkt, daraus kann ich folgern (mit einem Satz aus der VL) das Supremum und Infimum der Bildmenge existieren und auch im Wertebereich liegen.

Damit weiss ich schonmal das dieser nach oben und unten beschränkt ist. Das Problem ist jetzt die Abgeschlossenheit. Was ich zeigen muss ist mir auch klar,nämlich das für alle Folgen die in f(I) liegen und konvergieren das Grenzwert auch in f(I) liegt. Was ich noch garnicht verwandt habe ist die Stetigkeit von f. Nebenbei weiss man wohl noch das f(I) auch ein Intervall ist, wegen dem ZWS Satz.

Wer kann mir hier noch einen Tipp geben :-)

02.12.2008, 17:59

tmo

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Sei $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Folgenglieder in $\begin{eqnarray*} f(I) \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dazu eine Urbildfolge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_n = f(x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \in I \end{eqnarray*}$ . Diese Folge ist beschränkt, enthält also eine konvergente Teilfolge. Kannst du nun weitermachen?

02.12.2008, 18:29

rajsato

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Also dann wieweit ich das verstanden hab:

Sei ( $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ) die Urbildfolge der Folge ( $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ ). Nach dem Satz von Bolzano/Weierstraß besitzt jede Folge die in dem kompakten Intervall liegt mindestens einen Häufungspunkt x, der wiederrum im Intervall liegt. Demnach ist auch $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(I) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt müsste ich ja noch irgendwie erklären warum gerade dieses f(x) auch der Grenzwert der Funktion ist. Eigentlich erstmal recht logisch, denn die Folge x_n sollte ja nur den einen Grenzwert haben, da sie gegen das Urbild von f(x) konvergiert, und dann auch alle Teilfolgen gegen das Urbild konvergieren müssen.

Kann man das noch irgendwie ordentlich erklären bzw. ist mein Gedankengang bis hierher überhaupt so korrekt?

Aber der Tipp hat mir schonmal sehr geholfen :-)

02.12.2008, 18:34

tmo

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Benenne die Teilfolge von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ doch mal $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ . Beachte, dass $\begin{eqnarray*} f(z_n) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ ist. Wogegen konvergiert $\begin{eqnarray*} f(z_n) \end{eqnarray*}$ ? Was folgt daraus für $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ ?

Das hier:

Zitat:

Original von rajsato
denn die Folge x_n sollte ja nur den einen Grenzwert haben, da sie gegen das Urbild von f(x) konvergiert, und dann auch alle Teilfolgen gegen das Urbild konvergieren müssen.

ist eine falsche Überlegung. Die Urbildfolge muss gar nicht konvergieren. Betrachte dazu z.b. $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ und die Urbildfolge $\begin{eqnarray*} x_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert, $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ selbst aber nicht.

02.12.2008, 18:52

rajsato

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$\begin{eqnarray*} f(z_n) \end{eqnarray*}$ , da Teilfolge von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ , konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} y=f(u_1) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ das Urbild des Grenzwertes ist. Dieses Urbild muss nun im Intervall I liegen, da die Folge darin liegt und das Intervall abgeschlossen ist.
Kann ich jetzt draus folgern, das darum auch der Grenzwert im Intervall $\begin{eqnarray*} f(I) \end{eqnarray*}$ liegt? Würde jetzt nahe liegen :-)

02.12.2008, 19:00

WebFritzi

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Zitat:

Original von rajsato
$\begin{eqnarray*} f(z_n) \end{eqnarray*}$ , da Teilfolge von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ , konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} y=f(u_1) \end{eqnarray*}$

Dann wärst du doch schon fertig. Am besten ist wohl, du sammelst dich erstmal und schreibst jeden einzelnen Schritt in aller Ausführlichkeit auf, so dass jegliche Begründung hieb- und stichfest ist. Wenn du an einer Stelle nicht weiterkommst, kannste ja nochmal nachfragen.

02.12.2008, 19:22

rajsato

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So ich habe mir das ganze jetzt aufgeschrieben.

Für die Teilfolge war ja:
$\begin{eqnarray*} x_{n(k)} \rightarrow x \end{eqnarray*}$

Da f stetig ist gilt dann auch:
$\begin{eqnarray*} f(x_{n(k)}) \rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} f(x_{n(k)}) \end{eqnarray*}$ Teilfolge von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ ist, konvergiert sie gegen y.

Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes gilt also:

y=f(x)

Also ist x das Urbild von y. Und weil x in I liegt, liegt folglich auch f(x) in f(I).

Dann ist alles bewiesen :-)

02.12.2008, 19:40

WebFritzi

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