Zentrum der Faktorgruppe

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02.12.2008, 19:22	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrum der Faktorgruppe Hallo, mich interessiert, welche Aussagen man über die Struktur einer Gruppe G und einen (nichttrivialen) Normalteiler N in G machen kann, wenn für die Faktorgruppe G/N gilt, dass ihr Zentrum trivial ist, also Z(G/N)={1}.
02.12.2008, 20:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute mal ganz stark: $\begin{eqnarray} Z(G) \leq N \end{eqnarray}$
02.12.2008, 20:36	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das bringt mich nicht weiter; ich versuche nämlich gerade zu zeigen, dass eine Gruppe G nicht nilpotent sein kann, wenn kein n existiert, sodass Z_n(G)=G. Die Z_i(G) sollen hierbei entsprechend den Folgegliedern der aufsteigenden Zentralreihe definiert sein. Dazu habe ich mir überlegt, dass - falls eben kein solches n existiert - die Reihe irgendwann konstant werden muss, sodass also Z_i=Z_i+1. Einsetzen in die Def. der Glieder liefert mir dann Z(G/Z_i)=Z_i/Z_i=1 und ich dachte daraus könnte ich irgendwie schließen, dass G nicht nilpotent sein kann. Ist der Gedankengang ganz sinnlos oder kann man da noch irgendetwas entwickeln?
02.12.2008, 22:03	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir mal jemand weiterhelfen?
02.12.2008, 22:05	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie habt ihr den nilpotent definiert? Da gibt es ja durchaus mehrere äquivalente Möglichkeiten
02.12.2008, 22:25	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
das stimmt. eine Gruppe G heißt nilpotent, wenn es eine Normalreihe 1 = N_0 <· . . . ·< N_n = G,gibt, für die jeweils Ni+1/Ni im Zentrum von G/Ni liegt.
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02.12.2008, 22:56	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
@kiste wie kann ich nun weiter machen?
02.12.2008, 23:32	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hans, es ist nicht wirklich hilfreich hier zu pushen, hier geht kein Thema unter! kiste wird sein möglichstes tun, aber etwas Zeit musst Du ihm schon lassen und dieses Drängen auf eine Antwort ist imho eine Unverschämtheit! Zur Aufgabe: Zeige per Induktion, dass für eine solche Normalreihe immer $\begin{eqnarray} N_i\leq Z_i(G) \end{eqnarray}$ ist. PS: Z(G/N)=1 für einen nicht trivialen Normalteiler N ist äquivalent dazu, dass G nicht nilpotent ist.
02.12.2008, 23:56	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, ich bin noch recht neu hier (wie du vermutlich siehst) und bin mit den Benímmregeln noch nicht so ganz vertraut. Danke für den Hinweis, ich denk mal kurz nach...
03.12.2008, 00:15	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
leider bringe ich den Induktionsbeweis nicht hin; genügen dazu elementare Umformungen oder brauche ich z.B. einen Isomorphiesatz oder so? Du sagst, " Z(G/N)=1 für einen nicht trivialen Normalteiler N ist äquivalent dazu, dass G nicht nilpotent ist", aber das ist ja genau, was ich beweisen möchte (zumindest die eine Richtung). Gibt es einen Satz, der dies besagt, ist es trivial oder muss ich es erst beweisen?
03.12.2008, 00:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz so einfach ist der Beweis nicht, d.h. Isomorphiesätze wie $\begin{eqnarray} AB/B\cong A/(A\cap B) \end{eqnarray}$ werden dafür möglicherweise benötigt und mit elementaren Umformungen kommt man imho nicht zum Ziel, da man auch ein wenig abschätzen muss. Mein PS bezog sich auf Deinen ersten Post. Bin ab morgen mittag wieder da, vielleicht hat vorher noch jemand anders 'ne Idee
03.12.2008, 13:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, ist doch nicht so schwer. War spät gestern. Mit Kommutatoren sieht man das recht schnell: Sei $\begin{eqnarray} N_i\leq Z_i \end{eqnarray}$ für ein i, dann liegt $\begin{eqnarray} N_{i+1} \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} N_i \end{eqnarray}$ im Zentrum der Gruppe, d.h. $\begin{eqnarray} [N_{i+1},G]\leq N_i \end{eqnarray}$ . Nun setzt man die Induktionsvoraussetzung ein und die Lösung steht quasi schon da. Außerdem ist "Z(G/N)=1 für einen nicht trivialen Normalteiler N ist äquivalent dazu, dass G nicht nilpotent ist" nicht ganz richtig, denn in der $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ ist jede nicht triviale Faktorgruppe abelsch, aber trotzdem ist die Gruppe nicht nilpotent. Man muss also auch den Normalteiler N=1 zulassen: $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ nilpotent $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Für alle $\begin{eqnarray} N\lhd G \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} Z(G/N)>1 \end{eqnarray}$ Benimmregeln kann man übrigens in den meisten Boards nachlesen. So auch hier

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