Integralrechnung

02.12.2008, 21:12	LoooLa	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Eine Fläche wird vom Schaubild der Funktion f mit $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1-e^{-x} }{e^x } \end{eqnarray}$ , seiner Wendetangente und der x-Achse begrenzt. Berechne den Inhalt dieser Fläche. Ich habe die Aufgabe schon gelöst, würde nur gerne meine Ergebnis vergleichen. Ich habe bei der Fläche 0,07 Flächeneinheiten raus, das ist aber ein bisschen wenig oder? Könnte das vielleicht einer schnell nachrechnen? Vielen Dank und lieben Gruß
02.12.2008, 23:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ha! Schnell nachrechnen ist gut! Die Fläche ist exakt 5/64 FE = 0,078125, daher liegst du mit 0,07 nicht besonders gut! Interessant wäre es, genauer zu erfahren, wie du das gerechnet hast. Es ist ja auch ein uneigentliches Integral dabei .... mY+
03.12.2008, 20:48	LoooLa	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist mein ergebnis richtig oder falsch??? weil da steht 5/64 FE, das ist doch 0,078.. ich hab doch auch 0,07 raus..warum lieg ich dann nicht besonders richtig?
03.12.2008, 21:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es erhebt sich erstens die Frage, wie du wirklich auf das Ergebnis gekommen bist - das hast du immer noch nicht beantwortet (warum nicht??) - und zweitens besteht ein ziemlich hoher relativer Unterschied zwischen 0,07 und 0,078 (beinahe 0,08), dieser liegt immerhin im 10%-Bereich. Somit kann doch nicht glaubhaft gemacht werden, dass 0,07 und 0,078 ohnehin das Gleiche ist. mY+
03.12.2008, 21:28	LoooLa	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gut. Ich habe zunächst die gleichung der Wendetangenten aufgestellt, die ist: $\begin{eqnarray} f(x) = -\frac{1}{8} x + 0,36 \end{eqnarray}$ Anschließend habe ich mir die Funktion gezeichnet, habe dann die Nullstellen der Wendetangenten berechnet, die ist bei x = 2, 88 Danach habe ich integriert in den Grenzen 0 und 2,88.. Und da kam für die Fläche 0,07 raus. Muss allerdings dazu sagen, dass ich gerundet habe. Wie sind Sie denn auf diese genaue Bruchzahl gekommen?
03.12.2008, 22:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte eigentlich eine andere Auffassung von der Lage der gesuchten Fläche. Danach sollte sie vom Graphen der Funktion, der Wendetangente und der x-Achse begrenzt sein. Somit liegt sie, wenn man den Plot ansieht, rechts vom Berührungspunkt der Tangente (ln 4; 3/16) und geht die x-Achse entlang nach rechts bis + Unendlich. Daher wäre die Fläche der Kurve mit der x-Achse ein uneigentliches Integral (von ln 4 bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ), d.s. 7/32 FE, davon muss man dann das Dreieck subtrahieren, welches die Wendetangente zwischen ln 4 und (ln(4) + 1,5) mit der x-Achse bildet (9/64 FE) [Fläche orange]. [attach]9309[/attach] Nun kann man den Aufgabentext auch so auffassen, wie es du getan hast und dann ist der von dir beschriebene Weg richtig. Dabei kommt aber nicht 0,07 als Ergebnis, sondern 27/64 (= 0,421875) FE [Fläche rosa]. Fläche unter der Kurve (von 0 bis ln(4)): 9/32 FE Fläche unter der Wendetangente (von ln(4) bis ln(4) + 1,5): 9/64 FE -------------------------------------------------------------------------------------------------- das dann addieren ... Ich habe deswegen Brüche als Ergebnis, weil ich immer die vollständigen Terme geschrieben habe, nicht auf Dezimalzahlen umgewandelt und nicht gerundet habe. mY+
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