Lineare Abb. äquivalente Aussagen

03.12.2008, 00:13	rewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abb. äquivalente Aussagen Seien V, W K-Vektorräume mit $\begin{eqnarray} dim V=dim W (< \infty) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow W \end{eqnarray}$ die folgenden Aussagen äquivalent sind: 1.) f ist Isomorphismus 2.) f ist injektiv 3.) f ist surjektiv Da es eine lineare Abbildung ist, weiß ich: $\begin{eqnarray} f(v+w)=f(v)+f(w) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\lambda v)= \lambda f(v) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v, w \in V \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ Um zu beweisen, dass es ein Isomorphismus ist, muss ich die Bijektivität der Abbildung beweisen...die Bijektivität beinhaltet per Defintion auch die Surjektivität und die Injektivität. Muss ich alles einzeln beweisen, um zu zeigen, dass die Aussagen äquivalent sind? Also Surjektivität und Injektivität beweisen...daraus folgt dann die Bijektivität und daraus wieder der Isomorphismus. Wie beweise ich Surjektivität/Injektivität? $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow W \end{eqnarray}$ ist surjektiv, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} f(x) = y \end{eqnarray}$ . Kann mir bei dem Beweis jemand helfen? Und sind meine bisherigen Überlegungen korrekt?
03.12.2008, 00:49	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abb. äquivalente Aussagen Zeige: (1)=>(2) (trivial) (2)=>(3) und (3)=>(1) Wenn Du den Homomorphiesatz verwenden darfst, sollte die Aufgabe kein Problem darstellen, da Du aus Surjektivität/Injektivität direkt auf die Dimension von Bild/Kern der Abbildung schließen kannst.

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