Testübung

03.12.2008, 13:54

gugelhupf

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Testübung

Hallo,

ich habe hier wieder eine Aufgabe aus dem Buch, die ich im Moment nicht richtig lösen kann.

Sie lautet: E1 ist die x-y-Ebene, E2 die y-z-Ebene und E3 die x-z-Ebene.. gesucht wird die vektorielle Parametergleichung.

Wie kann ich sie nur aufstellen?

Das sind ja schon drei Ebenen gegeben..

bei E1 wäre die z-Koordinate 0 .. bei E2 die x-Koordinate=0 und bei E3 y-Koordinate = 0 .. oder nicht?

Soll ich mir jetzt Punkte ausdenken für das Aufstellen??

Für E1 nehme ich zB A(2|3|0), B(3|5|0), C(7|2|0) .. und so mache ich das bis E3, wäre das so der richtige Ansatz??

Dann bei b)

E4 enthält den Pkt P(2|3|0) und verläuft parallel zur x-z-Ebene .

Hier nehme ich P als Stützpunkt und stelle mir noch diese beiden Punkte zusammen, weil die Ebene parallel verläuft

B(7|0|1)
C(8|0|4)

Ich bin mir aber unsicher, da P eine 3 als y-Koordinate hat und keine 0. (??)

C)
E6 enthält die Ursprungsgerade durch B(3|1|0) und steht senkrecht auf der x-y-Ebene.

Habe ich leider keine Idee, wäre eine Ursprungsgerade eine Gerade g mit einem Stützpunkt 0|0|0 ??

Mh und sie Ebene steht senkrecht auf einer anderen Ebene.. ist das "senkrecht" wichtig?

Sonst würde ich mir wieder nur einen Punkt ausdenken wie 3|2|0, weil die z-Koordinate 0 wäre..

dann hätte ich schon drei Punkte für die Parametergleichung?

Ist das so richtig?

03.12.2008, 14:27

riwe

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RE: Testübung
zu A)
die koordinatenfrorm(en) der jeweiligen ebenen lauten:

$\begin{eqnarray*} z=0\quad{ }x=0\quad{ }y=0 \end{eqnarray*}$

daraus kannst du nun problemlos eine parameterform ableiten

$\begin{eqnarray*} z=0\to\vec{x} =s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu B) die entsprechende parllele xz-ebene, da sind alle y-werte y=0 heißt eben
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

und bei dir heißt die y-koordinate y=3

wie heißt dann die entsprechende ebene in kooform und parameterform verwirrt

verwirrt

zu C)

eine gerade durch O(0/0/0) und P hat die form

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =t\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mit dem normalenvektor der xy-ebene kannst du problemlos eine senkrechte ebene basteln.
ja das senkrecht ist wichtig, nona smile

smile

03.12.2008, 14:36

gugelhupf

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RE: Testübung

Zitat:

Original von riwe
zu A)
die koordinatenfrorm(en) der jeweiligen ebenen lauten:

$\begin{eqnarray*} z=0\quad{ }x=0\quad{ }y=0 \end{eqnarray*}$

daraus kannst du nun problemlos eine parameterform ableiten

$\begin{eqnarray*} z=0\to\vec{x} =s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Verstehe ich jetzt aber nicht, warum ich eine Koordinatenform der Ebene brauche.

Also ich wüde das so machen:

E1:

A(2|3|0), B(3|5|0), C(7|2|0)

$\begin{eqnarray*} E1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre das jetzt falsch? Sieht ja doch anders aus als deine.

03.12.2008, 15:03

riwe

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RE: Testübung
brauchen tut man gar nix smile

smile

und man kann es so umständlich machen wie du es gatan hast,
hauptsache es stimmt Freude

Freude

auch wenn´s anders ausschaut,
das ist halt das kreuz mit den parameterformen, dass es deren viele gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

nur warum nimmst du solche punkte verwirrt

verwirrt

wenn schon dann so etwas wie P(1/0/0), Q(0/1/0) und R(1/1/0).
die liegen sicher nicht auf einer geraden smile

smile

meine "darbietung" sollte dir halt bei den weiteren übungen helfen.
du kannst doch nicht immer irgendwelche punkte der gesuchten ebene suchen unglücklich

unglücklich

03.12.2008, 17:14

gugelhupf

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achso, das stimmt. ich glaube, ich verstehe nun, was du meinst.

also eine Koordinatenform würde so aussehen

E: x+y=0

dann heißt $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann einen Stützpunkt .. der würde lauten 0|0|0

dann muss ich den Normalenvektor bzw seine Koordinaten drehen und ein Minus hinzufügen.

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}= +t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich habe jetzt also aus der Koordinatenform versucht die Parameterform herzustellen.

03.12.2008, 17:42

riwe

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ganz so einfach ist es leider nicht.

du kannst die beiden vektor ziemlich frei wählen, allerdings so, dass das skalarprodukt mit dem normalenvektor = 0 ist
und sie nicht linear voneinander abhängig sind.

(drehen und vorzeichenwechsel sind wahrscheinlich das, was du damit meinst Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

hier stimmt´s, wie du leicht nachrechnest
das minus beim 2. vektor ist nicht notwendig)

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03.12.2008, 17:46

gugelhupf

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achso, na ja unser Lehrer hat uns das so beigebracht.

Wir nehmen den Normalenvektor

dann bilden wir die Richtungsvektoren so, dass wir einmal ganz oben im Vektor eine 0 schreiben, dann tauschen wir die y- und z-Koordinate aus und bei einer Zahl davon muss das Vorzeichen verändert werden.

Dann der zweite Richtungsvektor.. man nimmt wieder den Normalenvektor, aber schreibt dieses Mal die 0 ganz unten hin, dann nimmt man die y-und x-Koordinate und tauscht sie aus und ändert bei einer das Vorzeichen.

03.12.2008, 18:06

gugelhupf

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RE: Testübung

Zitat:

Original von riwe

zu B) die entsprechende parllele xz-ebene, da sind alle y-werte y=0 heißt eben
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

und bei dir heißt die y-koordinate y=3

wie heißt dann die entsprechende ebene in kooform und parameterform verwirrt

verwirrt

das verwirrt mich.
warum ist denn y einmal 0 und einmal 3??

mhh

x+z=0

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so würde ich das machen, aber die Richtungsvektoren sehen so falsch aus.

Zitat:

Original von riwe

zu C)

eine gerade durch O(0/0/0) und P hat die form

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =t\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mit dem normalenvektor der xy-ebene kannst du problemlos eine senkrechte ebene basteln.
ja das senkrecht ist wichtig, nona smile

smile

Du meinst das lateinische nona? :>

Dann lieber die Parzen.

also ich habe jetzt das wie die letzten Male gemacht, mit der Koordinatenform und dem Minusdrehen. Und habe raus

$\begin{eqnarray*} E\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kann hinter diesen Richtungsvektoren keine Struktur erkennen im Bezug auf die Ebenen.

04.12.2008, 18:25

gugelhupf

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Kann mir noch jemand anderes sagen, ob meine letzten Ergebnisse richtig wären? Danke.

04.12.2008, 18:54

Bjoern1982

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Ist leider alles falsch - ich glaube das Problem ist, dass du dir das alles geometrisch bzw bildlich nicht so vorstellen kannst oder ?

Frage einfach nochmal genauer bei werner nach, wie er es meint smile

smile

04.12.2008, 18:57

gugelhupf

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ja das auch, aber jetzt habe ich es eigentlich so gelöst wie riwe es vorgeschlagen hat mit der Koordinatenform und dem Normalenvektor. Verstehe ich nicht, warum es falsch ist.

04.12.2008, 19:01

Bjoern1982

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Da er ja mit dir diesen Thread geführt hat wird er sicher noch darauf antworten wenn er Zeit hat. Das Problem ist natürlich dass er sich unsichtbar macht, warum auch immer, und man damit nie abschätzen kann ob es sich lohnt zu warten oder nicht und zudem auch die Gefahr dass es zu Doppel bzw Mehrfachpost kommt sehr groß ist.

Wenn er sich heute nicht mehr melden sollte werde ich mich nochmal dazu äußern smile

smile

04.12.2008, 19:04

gugelhupf

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okay danke. ich schreibe morgen schon den Test, das wird wohl schief gehen. Na ja.

Schönen Abend noch : )

04.12.2008, 19:06

Bjoern1982

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Sag das doch gleich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn bis 21 Uhr nichts mehr von ihm kommt melde ich mich nochmal ok ?

OT: Hattest du deinen Account nicht gelöscht bzw löschen lassen ?

04.12.2008, 19:35

riwe

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Sag das doch gleich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn bis 21 Uhr nichts mehr von ihm kommt melde ich mich nochmal ok ?

OT: Hattest du deinen Account nicht gelöscht bzw löschen lassen ?

bjoern, warte bitte nicht bis 21
das was ich schreibe, liest gugelhupf ohnehin nicht oder nur soweit, wie es ihr paßt smile

smile

04.12.2008, 19:46

gugelhupf

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Das Gleiche könnte man von dir auch behaupten, riwe. Trotzdem danke für den halbherzigen Versuch, mir zu helfen.

@björn, keinen Stress .p
ja, habe mich löschen lassen, aber mYthos und ich haben den Schwamm rausgeholt und Thomas war so nett ein Skript drüber laufen zu lassen. :)

04.12.2008, 20:02

Bjoern1982

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In Ordnung, dann wage ich auch nochmal einen Versuch.

Ich denke Werner gibt sich schon sehr viel Mühe und hilft immer mit ganzem Herzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jekatherina liest das sicherlich auch alles, erkennt nur vielleicht nicht immer direkt das Entscheidende.

Gut, dann mal zu b)

Du willst also sowohl eine Koordinatenform als auch eine Parameterform dieser Ebene aufstellen, ja ?

Zitat:

E4 enthält den Pkt P(2|3|0) und verläuft parallel zur x-z-Ebene

Stelle dir mal die x-z-Ebene vor, sie wird ja gerade von der der x und z Achse aufgespannt. Alle Punkte, die in ihr liegen, haben auf jeden Fall als y-Koordinate null, wohingehen x und z Koordinate frei wählbar sind.
Genau aus dieser Tatsache ergibt sich schon direkt die Koordinatengleichung y=0 und da x und z frei wählbar sind könnte man das ganze etwa so schreiben:

x=1x+0z

y=0x+0z

z=0x+1z

Daraus ließe sich prima eine mögliche Parameterform ablesen.

Nun handelt es sich bei der Aufgabe ja um eine zur Ebene y=0 parallele Ebene durch P(2|3|0). Mit einem Blick auf die y-Koordinate dieses Punktes kann man somit dann auch direkt die entsprechende Koordinatenform angeben und analog auch eine Parameterform aufstellen.

Ist das halbwegs verständlich ?

04.12.2008, 20:18

riwe

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Zitat:

Original von gugelhupf
Das Gleiche könnte man von dir auch behaupten, riwe. Trotzdem danke für den halbherzigen Versuch, mir zu helfen.

man glaubt es kaum, aber wie wahr:

dümmer geht´s immer

04.12.2008, 20:22

gugelhupf

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Ja, das Problem ist einfach, dass riwe auf meine Gedanken gar nicht eingeht, sondern mir gleich seine Lösungswege sagt und ich damit dann auch nicht so viel anfangen kann, und wenn ich dann nochmal auf meine Gedankenlösungen zurückkomme und das eben so lösen möchte, wie ich denke, dass es richtig sein könnte und wie ich es eben auf im Test machen würde, dann meint er, ich würde nicht lesen.
Ist auch egal, sein Stil.. hilft bestimmt anderen.

Ich weiß jetzt gar nicht, was an meinen Lösungen falsch ist, ob alles falsch ist oder nur wie ich den Normalenvektor bilde oder was anderes.

Zitat:

Stelle dir mal die x-z-Ebene vor, sie wird ja gerade von der der x und z Achse aufgespannt. Alle Punkte, die in ihr liegen, haben auf jeden Fall als y-Koordinate null, wohingehen x und z Koordinate frei wählbar sind.
Genau aus dieser Tatsache ergibt sich schon direkt die Koordinatengleichung y=0 und da x und z frei wählbar sind könnte man das ganze etwa so schreiben:

x=1x+0z

y=0x+0z

z=0x+1z

ja, ich habe mir das jetzt nur so gemerkt, dass immer wenn da nur x-y-Ebene steht eben der fehlende Parameter.. da muss der Ebenenparameter 0 sein.

Dann habe ich ja geschrieben, dass ich x+y=0 mache, wenn x und y frei wählbar sind.
Was ist denn daran falsch?

dann wäre mein $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

x+3y+z=0 würde sich ja der Aussage x-y-Ebene widersprechen oder nicht?

04.12.2008, 20:25

gugelhupf

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Zitat:

Original von riwe

man glaubt es kaum, aber wie wahr:

dümmer geht´s immer

Okay, lass gut sein.

Ich würde nie jemanden als dumm bezeichnen, höchstens dass er sich dumm ausgedrückt hat.

Das Verhalten sagt ja schon viel über dich aus.

04.12.2008, 20:34

Bjoern1982

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Zitat:

ja, ich habe mir das jetzt nur so gemerkt, dass immer wenn da nur x-y-Ebene steht eben der fehlende Parameter.. da muss der Ebenenparameter 0 sein.

Dann habe ich ja geschrieben, dass ich x+y=0 mache, wenn x und y frei wählbar sind.
Was ist denn daran falsch?

dann wäre mein $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du meinst x+z=0 oder ?
Dafür wäre das in der Tat ein korrekter Normalenvektor, jedoch hat x+z=0 nichts mit der gesuchten Ebene zu tun, denn das drückt aus, dass für alles Punkte dert Ebene immer x=-z gelten muss und zudem auch noch dass die gesuchte Ebene durch den Ursprung verläuft, was sie ja gerade NICHT tun soll.

Eine Koordinatenform einer Ebene enthält, wie der Name schon sagt, nur die Koordinaten der Punkte und entsprechende Koeffizienten.
Nun ist es hier doch so, dass die Ebene durch den Punkt P verlaufen soll und parallel zur x-z-Ebene verläuft. Lass die x-z-Ebene doch mal in Richtung der y-Achse so lange wandern, bis sie beim Punkt P ist. Vorher hieß sie dann noch y=0 und nach der Verschiebung ?

Edit:

Was an deinem Gedankenganz zu x+z=0 falsch ist bzw was diese Ebenengleichung gerade nicht erfüllt, ist, dass x und z mit einer solchen Gleichung NICHT frei wählbar sind, nämlich immer x+z=0 erfüllen müssen.
Bei y=0 sind x und z gar nicht enthalten, diese Gleichung ist also komplett unabhängig von x und z und somit kann man für x und z (auch wenn man sie nicht sieht) alles einsetzen was man will und es wird immer als y-Koordinate null rauskommen. Stelle es dir vielleicht so vor: 0x+y+0z=0

04.12.2008, 20:48

gugelhupf

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Ähm ja sorry, sollte z sein.

Ja nach der Verschiebung würde es y=3 heißen oder nicht?

04.12.2008, 20:49

Bjoern1982

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Prima, genauso Freude

Freude

Beachte noch mein Edit, ich denke damit könnte noch deutlicher werden warum deine Darstellung verkehrt ist.

04.12.2008, 21:03

gugelhupf

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achso okay, also orientiere ich mich lieber nicht an diesen Gleichungen.

Zitat:

Bei y=0 sind x und z gar nicht enthalten, diese Gleichung ist also komplett unabhängig von x und z und somit kann man für x und z (auch wenn man sie nicht sieht) alles einsetzen was man will und es wird immer als y-Koordinate null rauskommen. Stelle es dir vielleicht so vor: 0x+y+0z=0

das y immer 0 sein würde bezieht sich aber nicht auf diese Aufgabe hier oder?

wir haben ja gerade gesagt, dass y bei dem Punkt ja 3 wäre. :/

04.12.2008, 21:16

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sicher, 0x+y+0z=0 bezieht sich nur auf die x-z-Ebene.

y=3 ist die gesuchte, zu parallel Ebene durch P.

04.12.2008, 21:18

gugelhupf

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ich kann das irgendwie nicht auseinander halten.

Und wie kann ich jetzt die Parameterform ablesen?

04.12.2008, 21:32

Bjoern1982

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Weisst du wie man aus 3 Punkten eine Ebene in Parameterform aufstellt ?

04.12.2008, 21:37

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das weiß ich

04.12.2008, 21:52

Bjoern1982

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Wenn du es dann an meinem Weg, den ich oben geschildert hatte nicht erkennst, dann denke dir einfach 3 beliebie Punkte aus (die nicht auf einer Geraden liegen), die die Gleichung y=3 erfüllen, sprich also 3 Punkte mit der y-Koordinate 3.

04.12.2008, 22:03

gugelhupf

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okay danke :D

puhh danke

04.12.2008, 22:10

Bjoern1982

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Noch ein paar Worte zu c) oder reicht dir das ?

04.12.2008, 22:25

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

oh doof. ich dachte das wäre auch parallel aber da steht ja senkrecht..

E6 enthält die Ursprungsgerade durch B(3|1|0) und steht senkrecht auf der x-y-Ebene.

die Ursprungsgerade heißt
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

senkrecht wäre ja der Normalenvektor, der auf der Ebene6 steht.

z=0

so denke ich mir nur 3 Punkte aus, die die z-Koordinate 0 haben um den Normalenvektor auszurechnen??

04.12.2008, 22:41

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du an die Gerade noch einen zum Richtungsvektor dieser Geraden linear unabhängigen Richtungsvektor dranhängst hast du ja eine Ebenengleichung.
Und da die Ebenen senkrecht zueinander stehen sollen bietet sich ja auch gerade ein Vektor an, der senkrecht auf einer Ebene steht ---> Normalenvektor.

04.12.2008, 22:57

gugelhupf

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was hältst du denn von dem 2. richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.12.2008, 23:19

Bjoern1982

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Einiges

smile

04.12.2008, 23:21

gugelhupf

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also eher falsch

hmpf, schon okay. ich lese mir das morgen alles nochmal durch.
der test wird morgen ein spaß, hihi(wein).-.-

nachti : ')

04.12.2008, 23:27

Bjoern1982

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Du fragtest was ich davon halt und ich sagte "Einiges".

Das war nicht ironisch gemeint.

Ich habe nebenbei immer noch etwas anderes gemacht, deswegen meine verzögerten ANtworten.

Viel Erfolg morgen beim Test Wink

Wink

04.12.2008, 23:30

gugelhupf

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ja aber ich weiß doch, dass es irgendwie nicht ganz stimmt.

ich muss das kreuzprodukt von diesem vektor und dem richtungsvektor bilden und irgendwas muss da 0 ergeben.

egal oO
bye_

04.12.2008, 23:32

Bjoern1982

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Wie gesagt stimmt alles, wenn du mir nicht glaubst kann ich leider auch nichts tun Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.12.2008, 00:02

mYthos

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Zitat:

Original von gugelhupf
...
ich muss das kreuzprodukt von diesem vektor und dem richtungsvektor bilden und irgendwas muss da 0 ergeben.
...

Ermittle mal das Kreuzprodukt, was ist das für ein Vektor bezüglich der gesuchten Ebene? Aber das mit 0 solltest du noch überlegen. Durch welchen besonderen Punkt muss die Ebene gehen (wenn sie eine Ursprungsgerade enthält)? Du kannst natürlich auch den gegebenen Punkt heranziehen.

mY+

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