Lagrange Inversion

31.08.2006, 14:23

Lazarus

Lagrange Inversion

Hi Leute.

Ich benötige für ne Aufgabe den Inversionssatz von Lagrange zur Entwicklung einer Potenzreihe für die Umkehrfunktion einer Analytischen Funktion.

Evtl. sollte ich die mal aufschreiben (denn z.b. im deutschsprachigen Wikipedia findet die sich nicht):

Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(w)=z \end{eqnarray*}$ die an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ analytisch ist und desweiteren $\begin{eqnarray*} f'(a)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt,
so kann man die Gleichung nach z auflösen und man erhält $\begin{eqnarray*} g(z)=w \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ analytisch ist in $\begin{eqnarray*} b=g(a) \end{eqnarray*}$

Dann kann lautet die Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \left. g(z) = a + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{d}{dw}\right)^{n-1} \left( \frac{w-a}{f(w) - b} \right)^n \right| _{w = a} {\frac{(z - b)^n}{n!}} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich mehrere Fragen dazu:
1) Folgt aus der Tatsache dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ analytisch ist, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} g(b)=a \end{eqnarray*}$ ist, sozusagen automatisch ?
Wie kann man das beweisen ?

2) Was bedeutet die Notation $\begin{eqnarray*} \left. \dots \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{d}{dw}\right)^{n-1} \left( \frac{w-a}{f(w) - b} \right)^n \right| _{w = a} \dots \end{eqnarray*}$
Soll man einfach die Summe bilden und für jedes w a einsetzen ?
Wieso macht man das nicht gleich so und vorallem ergibt sich dann nicht für jeden Bruch 0/.. = 0 und somit für das ganze Produkt 0 ?

ich hatte noch eine andere Frage aber die fällt mir jetzt nichtmehr ein.
Wäre schön wenn wir erstmal die anderen beiden beantworten könnten.

Danke euch schonmal Augenzwinkern

Servus

31.08.2006, 15:55

Lazarus

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die Frage 2 würde ich gerne zurücknehmen.

Bei nochmaligen genaueren Lesen ist mir aufgefallen das ja $\begin{eqnarray*} b=f(a) \end{eqnarray*}$ ist, somit für $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)-f(a)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Damit ist dieser Teil klar, sofern ich die Schreibweise richtig interpretiert habe.

02.09.2006, 14:04

Lazarus

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RE: Lagrange Inversion

Zitat:

Original von Lazarus
Nun habe ich mehrere Fragen dazu:
1) Folgt aus der Tatsache dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ analytisch ist, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auch analytisch ist, wenn $\begin{eqnarray*} g(b)=a \end{eqnarray*}$ ist, sozusagen automatisch ?
Wie kann man das beweisen ?

Diese Frage wäre noch offen. Wäre schön wenn mir das jemand noch beantworten könnte.

freundliche Grüße

13.10.2006, 18:58

Frooke

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Ich grab das mal aus, da ich zu besagtem Zeitpunkt abwesend war Augenzwinkern

:

Dass g in b analytisch ist folgt direkt aus der Tatsache, dass in a gilt: $\begin{eqnarray*} f'(a)\not=0 \end{eqnarray*}$ . Damit existiert die von Dir geschriebene Potenzreihenentwicklung in b und damit ist die Forderung nach «analytisch sein» erfüllt.

=> Die Schreibweise kannst Du Dir verdeutlichen, indem Du das Beispiel auf der englischen Wikipediaseite ansiehst mit der Lambert-W-Funktion, aber die ist ja mittlerweile klar.

13.10.2006, 20:36

Lazarus

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Besser spät als nie, auch wenn ichs mittlerweile schon fast abgehackt hatte ^^

Vielen herzlichen Dank!

Servus

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