Eingespannte Spiles klar, aber was mit den Natürlichen?

03.12.2008, 16:55

Maja2009

Eingespannte Spiles klar, aber was mit den Natürlichen?

hey, also eingespannte Splines sind garkein Problem für mich ...

Erst schön die Horner-Schemata aufstellen mit bekannten $\begin{eqnarray*} v_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{n} \end{eqnarray*}$ , dann mit der Tridiagonalmatrix die anderen Ableitungen berechnen und Polynome direkt hinschreiben.

Mein Problem ist jetzt z.B. natürliche oder periodische Splines.
Wenn $\begin{eqnarray*} v_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{n} \end{eqnarray*}$ nicht bekannt sind, kann ich die Tridiagonalmatrix nicht aufstellen, weil dann eben die $\begin{eqnarray*} v_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{n} \end{eqnarray*}$ auftauchen ...

Hat einer eine Idee wie ich denn diese Spiles dann berechnen kann?
Habe schon alle Links inkl. dem von Arndt Bruenner gelesen, aber verstehe das trotzdem nicht ... wäre über eine "einfache Antwort" sehr erfreut

maja

03.12.2008, 17:55

tigerbine

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RE: Eingespannte Spiles klar, aber was mit den Natürlichen?
Was sind denn eingespannte Splines? verwirrt

Und was ist $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$

Ferner wird nicht eher das Newton-Schema der div. Differenzen benutzt?

03.12.2008, 18:02

Maja2009

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Naja das $\begin{eqnarray*} v_{0} \end{eqnarray*}$ ist die linke Randbedingung (linke Ableitung)
und das $\begin{eqnarray*} v_{n} \end{eqnarray*}$ dementsprechende die Rechte ...

Eingespannter Spline ist wenn diese beiden Ableitungen vorgegeben sind, und ja dann stellt man einfach die newtonschemata auf und berechnet die restlichen v's per LGS.

Meine Verwirrung ist halt nur wenn die beiden Randableitungen nicht vorgegeben sind, sondern nur die Zweiten Ableitungen = 0 vorausgesetzt werden (Natürlicher Spline) ...

Dann habe ich im LGS trotzdem die beiden $\begin{eqnarray*} v_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{n} \end{eqnarray*}$ die ich nicht berechnet bekomm.

das ist meine verwirrung smile

03.12.2008, 18:07

tigerbine

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[WS] Spline-Interpolation - Theorie

03.12.2008, 18:20

Maja2009

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Den Link hatte ich auch schonmal besucht, aber ich bin nicht soo die leuchte darum noch zwei fragen ...

Wie kommt man denn jetzt beim natürlichen spline auf

$\begin{eqnarray*} s_0 = 1.5 \cdot \frac{\vartriangle f_0}{\vartriangle t_0} - 0.5 \cdot s_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_n = 1.5 \cdot \frac{\vartriangle f_{n-1}}{\vartriangle t_{n-1}} - 0.5 \cdot s_{n-1} \end{eqnarray*}$

Was mich so verwirrt ist diese Formale schreibweise, normal rechne ich das ja mit konkreten werden ...

03.12.2008, 18:58

tigerbine

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Zitat:

Ableitungsbedingung (4.)

$\begin{eqnarray*} R_{j-1}''(t_j) = R_{j}''(t_j) ~(*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-6\frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}} +2s_{j-1} + 4s_j}{\vartriangle t_{j-1}}=\frac{6\frac{\vartriangle f_j}{\vartriangle t_j}-4s_j -2s_{j+1}}{\vartriangle t_j} \end{eqnarray*}$

Nun ist j=0, oder j-1=n

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{6\frac{\vartriangle f_0}{\vartriangle t_0}-4s_0 -2s_{1}}{\vartriangle t_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=6\frac{\vartriangle f_0}{\vartriangle t_0}-4s_0 -2s_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4s_0=6\frac{\vartriangle f_0}{\vartriangle t_0} -2s_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_0=1.5\frac{\vartriangle f_0}{\vartriangle t_0} -0.5s_{1} \end{eqnarray*}$

05.12.2008, 11:20

maja2009

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Habe jetzt mehrere Tage versucht das umzusetzen, aber leider Fehlanzeige.

Gut ich habe $\begin{eqnarray*} s_{0} \end{eqnarray*}$ jetzt laut deiner Anleitung durch $\begin{eqnarray*} s_{1} \end{eqnarray*}$ ausgedrückt.
Leider ist das $\begin{eqnarray*} s_{1} \end{eqnarray*}$ vor dem Lösen des LGS nicht bekannt ...
Müsste aber bekannt sein ZUM Lösen des LGS....

Und hier beisst sich die Katze doch in den Schwanz

05.12.2008, 11:26

tigerbine

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Du glaubst nicht wirklich, dass dieser Post in irgendeiner Weise sinnvoll war, oder? unglücklich

Um einen Spline zu berechen, muss man ein LGS lösen. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass ein LGS mit einer Diagonalmatrix vorliegt. Hier ist es eine Tridiagonalmatrix, die eben die Drei-Term-Rekursionen widerspiegelt. Dann musst du eben mit Gauss ran.

Ferner gibst du keine Konkreten Daten an. Wie es allgemein geht steht im meinem Workshop.

05.12.2008, 11:35

maja2009

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Sorry vielleicht hab ich nur falsch erklärt was ich nicht verstehe...

Also sagen wir mal ich habe die werte
(x1,y1) (x2,y2) (x2,y3)

Dann schreibe ich mit das Newtonschema mit den Dividierten differenzen auf.

So und nun stelle ich für eine äquidistante Unterteilung folgendes LGS auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} b_{1} \end{eqnarray*}$ alleine schon aber folgendes:

$\begin{eqnarray*} b_{1} = 3(y_{2}-y_{0}) - v_{0} \end{eqnarray*}$

Drücke ich nun $\begin{eqnarray*} v_{0} \end{eqnarray*}$ laut deiner anleitung durch $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ aus erhalte ich für $\begin{eqnarray*} b_{1} \end{eqnarray*}$ folgendes.

$\begin{eqnarray*} b_{1} = 3(y_{2}-y_{0}) - (\frac{3}{2}*(\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}})-0.5*v_{1}) \end{eqnarray*}$

Joa und hier ist schonmal mein problem ... jetzt habe ich auf der rechten seite des LGS zwar kein v0 mehr, aber dafür ein v1 welches zu dem zeitpunkt auch nicht bekannt ist.

05.12.2008, 11:37

maja2009

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sorry werte sollten (x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x4,y4) sein ... halt ganz allgemein betrachtet....siehst du wo das problem ist, mit dem v_1 auf der rechten Seite?

05.12.2008, 11:45

tigerbine

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[WS] Spline-Interpolation - Beispiele

Versuch mal ein konkretes Beispiel von dort nachzurechnen. Vielleicht findest du dann schon deinen Fehler.

Es wird übrigens das Newton-Hermite-Schema benutzt, da auch Ableitungen auftreten.

05.12.2008, 19:04

tigerbine

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Auch ohne Kenntnis des ersten und letzen Wertes läßt sich dieses LGS aufstellen und eindeutig lösen:

Zitat:

Dies kann man als LGS der Form $\begin{eqnarray*} Ms = r \end{eqnarray*}$ schreiben.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \underline{\alpha_1} & \gamma_1 & & \\ \beta_2 & \alpha_2 &\gamma_2 && \\ &\beta_3 & \alpha_3 & \gamma_3 & \\ &&\ddots & \ddots \ddots &\gamma_{n-2} \\ & & & \beta_{n-1} &\underline{\alpha_{n-1}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \\ \vdots \\ s_{n-2} \\ s_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{r_1} \\ r_2 \\ \vdots \\ r_{n-2} \\ \underline{r_{n-1}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei einem vollst. Spline sind nun s0 und sn einfach gegeben, bei einen natürlichen führt die Bedingung für die zweiten Ableitungen auf

Zitat:

Aus den Forderungen $\begin{eqnarray*} S''(t_0) = R_0''(t_0) = 0 \text{ und } S''(t_n) = R_{n-1}''(t_n) = 0 \end{eqnarray*}$ erhält man mit (*):

$\begin{eqnarray*} s_0 = 1.5 \cdot \frac{\vartriangle f_0}{\vartriangle t_0} - 0.5 \cdot s_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = 1.5 \cdot \frac{\vartriangle f_{n-1}}{\vartriangle t_{n-1}} - 0.5 \cdot s_{n-1} \end{eqnarray*}$

und da s1 und s_n-1 mittlerweile bekannt sind auch berechnen.

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